Ondas

Ejercicios resueltos
Bolet´ 4 ın Movimiento ondulatorio

Ejercicio 1
La nota musical la tiene una frecuencia, por convenio internacional de 440 Hz. Si en el aire se propaga con una velocidad de 340 m/s y en el agua lo hace a 1400 m/s, calcula su longitud de onda en esos medios.

o Soluci´n 1
La frecuencia es una caracter´ ıstica del centro emisor. Por tanto es la misma en todos los medios.340 vaire = = 0,773 m λaire = ν 400 vagua 1400 λagua = = = 3,27 m ν 400

Ejercicio 2
La ecuaci´n de una onda, en unidades del S.I., que se propaga por una cuerda es: o y(x, t) = 0,05 cos 2 π (4 t − 2 x) 1. Determina las magnitudes caracter´ ısticas de la onda (amplitud, frecuencia angular, n´ mero de onda, longitud de onda, frecuencia, periodo, velocidad de propagaci´n) u o 2. Deduce lasexpresiones generales de la velocidad y aceleraci´n transversal de un o elemento de la cuerda y sus valores m´ximos. a 3. Determina los valores de la elongaci´n, velocidad y aceleraci´n de un punto situado o o a 1 m del origen en el instante t = 3 s

Soluci´n 2 o
1. Operando en la expresi´n de la onda: y(x, t) = 0,05 cos(8 π t − 4 π x) y comparando o con la expresi´n general: y(x, t) = A cos(ω t − kx) se tiene que: o Amplitud: A = 0,05 m; 1

frecuencia angular: ω = 8 π rad/s; n´ mero de onda: k = 4 π rad/m; u 2π 2π = = 0,5 m; longitud de onda: λ = k 4π ω 8π frecuencia: ν = = = 4 Hz; 2π 2π 1 1 periodo: T = = = 0,25 s; ν 4 ω 8π velocidad de propagaci´n: v = λ ν = = 0,5 · 4 = o = 2 m/s k 4π 2. Velocidad de vibraci´n: o v= dy = −0,4 π sin 2 π (4 t − 2 x) m/s ⇒ vm´x = 0,4 π m/s a dtAceleraci´n de vibraci´n: o o a= dv = −3,2 π 2 cos 2 π (4 t − 2 x) m/s2 ⇒ am´x = 3,2 π 2 m/s2 a dt

3. Para calcular la elongaci´n, velocidad y aceleraci´n del punto considerado en el o o instante indicado, basta sustituir sus valores en las ecuaciones generales correspondientes. y(x = 1, t = 3) = 0,05 cos 2 π (4 · 3 − 2 · 1) = 0,05 m El punto se encuentra en su m´xima separaci´n central y hacia laparte positiva. a o v(x = 1, t = 3) = −0,4 π sin 2 π (4 · 3 − 2 · 1) = 0 m/s El punto est´ en un extremo de la vibraci´n y por ello su velocidad es igual a cero. a o a(x = 1, t = 3) = −3,2 π 2 cos 2 π (4 · 3 − 2 · 1) = −3,2 π 2 m/s2 Al estar el punto en el extremo positivo de la vibraci´n, la aceleraci´n es m´xima y o o a de sentido negativo, se dirige hacia el centro de la oscilaci´n. oEjercicio 3
Se agita el extremo de una cuerda con una frecuencia de 2 Hz y una amplitud de 3 cm. Si la perturbaci´n se propaga con una velocidad de 0,5 m/s, escribe la expresi´n o o que representa el movimiento por la cuerda.

2

Soluci´n 3 o
La frecuencia angular es: ω = 2 π ν = 4 π rad/s 2π 2π 2π El n´ mero de onda es: k = u = = = 8 π m−1 λ v/ν 0,5/2 La expresi´n pedida es: o y = A cos(ω t − k x)= 0,03 cos(4 π t − 8 π x) Operando: y = 0,03 cos 4 π(t − 2 x)

Ejercicio 4
Un foco genera ondas de 2 mm de amplitud con una frecuencia de 250 Hz, que se propagan por un medio con una velocidad de 250 m/s. Determina el periodo y la longitud de onda de la perturbaci´n. Si en el instante inicial la elongaci´n de un punto situado a o o 3 m del foco es y = −2 mm, determina la elongaci´n de un puntosituado a 2,75 m del o foco en el mismo instante.

Soluci´n 4 o
1 1 = = 4 · 10−3 s; frecuencia angular: ω = 2 π ν = 500 π rad/s; ν 250 250 2π v = 1 m; n´ mero de onda: k = u = 2 π m−1 longitud de onda: λ = = ν 250 λ En este caso y como los datos de vibraci´n no son los del foco, debe introducirse una o fase inicial ϕ0 que se determina con las condiciones de vibraci´n del punto x = 3 m. oPeriodo: T = y = A cos(ω t − k x + ϕ0 ) = 2 · 10−3 cos(500 π t − 2 π x + ϕ0 ) Operando: y = 2 · 10−3 cos[2 π(250 t − x) + ϕ0 ] o Sustituyendo los datos de vibraci´n del punto consideradom, resulta que: y(x = 3, t = 0) = 2 · 10−3 cos[2 π(250 · 0 − 3) + ϕ0 ] = −2 · 10−3 m ⇒ cos(−6 π + ϕ0 ) = −1 Por lo que la fase inicial es: ϕ0 = π rad La ecuaci´n general de la onda es: o y = 2 · 10−3 cos[2 π(250 t −...