Operaciones Algebraicas

Las raíces son x = 3 y x = − 2.
Descomponer en factores los trinomios de cuarto grado de exponentes pares y hallar sus raíces
x4 − 10x2 + 9
x2 = t
x4 − 10x2 + 9 = 0
t2 − 10t + 9 = 0

x4 −10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)
x4 − 2x2 − 3
x2 = t
t2 − 2t − 3 = 0

x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + ) · (x − )
Factorización de un polinomio de grado superior a dosUtilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.
Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 61Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 03Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d · c .
(x − 1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )
Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos aprobar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0
P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 · (− 1)2 − 5 · (− 1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1)· (2x2 +x −6)
Otra raíz es x = −1.
El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrarraíces enteras.
El 1 lo descartamos y seguimos probando por −1.
P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0
P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x − 1) · (x + 1) ·(x + 2) · (2x − 3 )
Sacamos factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional.
2x − 3 = 2 (x − 3/2)
La factorización del polinomio queda:
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1)· (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)
Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

Todas las raíces son racionales
Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces...