Operaciones Con Irracionales

Matemáticas

≈ (formal)
~ (informal)
=~ (texto plano)
símbolos que representan
aproximación.
Una aproximación usualmente se realiza cuando una forma exacta o un valor numérico exacto es desconocido o difícil de obtener. Sin embargo, puede conocerse alguna forma, que sea capaz de representar a la forma real, de manera que no se presenten desviaciones significativas. También se utilizacuando un número es irracional, como el número π, en cuyo lugar muchas veces se emplea el 3.14, √7 como ≈ 2.65.2 Las aproximaciones numéricas a veces son efecto del uso de una cantidad pequeña de dígitos significativos. La teoría de la aproximación es una rama de las matemáticas, una parte cuantitativa del análisis funcional. La aproximación diofántica se dedica a la aproximación de números reales pormedio de números racionales. El símbolo doble tilde "≈" (entidad HTML ≈) significa "aproximadamente igual a". La tilde (~) a veces se usa para indicar una aproximación de inferior calidad (p.ej. 92 ~ 100).
[editar]Problemas de aproximación matemática

[editar]El problema general de aproximación
El problema general de aproximación se formula en un espacio vectorial normado, a fin de poderemplear la métrica asociada como medida de calidad de la aproximación.
Sea un espacio vectorial normado sobre un cuerpo (generalmente o ) con una norma . Sean un subconjunto arbitrario de aproximantes y el elemento que se desea aproximar (aproximado).
Podemos decir, informalmente, que es una aproximación de si la distancia es pequeña. moises bermudez Mejor aproximación:
Un elemento es unamejor aproximación de si .3
Una mejor aproximación para un elemento dado no es única, en general.
Conjunto de las mejores aproximaciones:
Podemos definir un conjunto

de las mejores aproximaciones en del elemento .
Por razones obvias se tiene:

donde es la clausura topológica del conjunto y , como diferencia de conjuntos, es el borde de . Basta entonces considerar la aproximación deelementos . Es decir, no se necesita considerar la aproximación de un (candidato a) aproximante.
Distancia del aproximado al conjunto de aproximantes:
Se define la distancia entre el elemento a aproximar y el conjunto de aproximantes como

Entonces, un elemento es una mejor aproximación de si

La existencia, así como la posible unicidad de una mejor aproximación, dependen de laspropiedades del conjunto de aproximantes.
[editar]Operadores de aproximación
Un operador

se denomina "operador de aproximación", queriendo significar que, aplicado a un elemento arbitrario dado , le asocia una mejor aproximación . El acto de "aproximar" un dado por medio de algún elemento de dado, aparece entonces como las construcción del correspondiente operador de aproximación. En el caso másgeneral, esta construcción consistirá en definir una secuencia de operadores que converja al operador de aproximación deseado.
[editar]Operadores compactos y la propiedad de aproximación
Los operadores compactos son, por así decirlo, operadores con una imagen "muy delgada", en el sentido de que para

la imagen de un subconjunto acotado es un subconjunto relativamente compacto de . Si esrazonable postular que el operador de aproximación buscado es compacto, cabe preguntar si existe una sequencia de operadores más simples que converja a él.
Un espacio vectorial (en general, espacio de Banach) tiene la propiedad de aproximación si para todo subconjunto compacto y todo existe un operador lineal continuo, de rango finito, de modo que para todo .4
No todos los espacios de Banachtienen esta propiedad.5 Sin embargo la tienen todos los espacios de Hilbert. La tienen también los espacios de Banach con base de Schauder.
[editar]Métodos de aproximación

[editar]Aproximación de valores numéricos
Entre las formas más comunes de aproximación se cuenta la representación de un número irracional por medio de un número con un número finito de decimales, así como el redondeo de algún...