operaciones con radicanes

Operaciones con radicales

En esta ocasión veremos qué tipos de operaciones podemos hacer con radicales. ¿Qué es eso de un radical? Pues no es más que una expresión matemática formada por una raíz y un número, tal que así:  Veamos pues que operaciones tenemos:

A) Suma de radicales.

LA regla general es que solo podemos operar con radicales semejantes, vamos a diferenciarlos:
 No sonsemejantes, ya que tienen distintos coeficientes
 Son semejantes, ya que poseen el mismo coeficiente, ese raíz de dos.
Nota: El coeficiente debe ser el mismo tanto en número como en índice, es decir, no podríamos operar con un raíz cúbica y una raíz cuadrada.
Aclarado esto, veamos como sumarlos:

Como podéis observar los radicales se suman como si fuesen equis e íes, casa cosa con su nombre, loscuadrados con los cuadrados, y los cubos con los cubos, y así sucesivamente.
Nota: Muy importante, no es lo mismo:



Ya que en el primer caso, nos daría 4+2= 6 y en el segundo raíz de 20.

B) Resta de radicales.

Si se entiende el apartado anterior, este nos será fácil, ya que es lo mismo, pero restando, como si fuesen números normales, siempre respetando los coeficientes, por supuesto.Ejemplo:



Aquí tengo que aclararos varias cosas: si no aparece ningún número
delante del radical, presuponemos siempre que es 1, y os podéis encontrar con casos en los que el índice de la raíz cuadrada (ese dos pequeñito que sale arriba) nos aparezca o no, si no tiene índice se presupone siempre que es cuadrada, ya que es el mínimo índice que tienen los radicales.
 

C) Multiplicaciónde radicales.

Como antes, para poder multiplicar, los radicales han de ser del mismo orden, es decir, semejantes.
Multiplicaremos los radicales y los números que los multiplican por separado. Ejemplo:



En este caso sí da lo mismo multiplicar lo de dentro que hacerlo por separado, pero solo en el caso de la multiplicación.

D) División de radicales.

Lo mismo que explicamos en lamultiplicación pasa en la división, el proceso es exactamente el mismo, realizaremos dos divisiones por separado, las de los números enteros por un lado y las de los radicales por el otro, siempre teniendo en cuenta si son semejantes, esto quiere decir, que no podríamos “disminuir” una raíz cubica con una cuadrada. Ejemplo:



En el segundo caso, al tener distintos grados los radicales, lo únicoque hemos podido hacer es intentar simplificar un poco el cociente, dividiendo los números enteros y poniendo los radicales en forma de potencias, para observar que solo podíamos operar con la de base 5, desarrollando las diversas potencias que me fui encontrando, hasta llegar a 5 elevado a -1/6, que lo podemos poner positivo pasando a dividir ese exponente.
Para resumir, siempre que veáis que algodentro de la raíz tiene factores comunes, simplificar.

Pasos para resolver operaciones con radicales

División de raíces con el mismo índice
Una propiedad de las raíces nos dice que:  
 (y viceversa)

Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, podremos resolverlas por separado y después las dividimos, o también podríamos hacer primero la división y luego extraer laraíz.

Ejemplo1:


En el ejemplo mostramos la división de raíces en distintas formas (todas válidas), pero luego hemos extraído las dos raíces cúbicas y hemos dividido los resultados (los cocientes o cocientes).

Ejemplo 2:

En este ejemplo, resolvimos primero la división de las cantidades su radicales y del resultado extraemos la raíz cúbica.
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 15_2005División de raíces con distinto índice
Sabemos que no podemos dividir raíces que tengan distinto índice, para también sabemos cómo igualar esos índices, y para hacerlo utilizamos la propiedad de amplificación:

Veamos un ejemplo:


El numerador tiene índice 2 (que no se escribe), el denominador tiene índice 3, buscamos entonces el m.c.m. entre 2 y 3, que seis, entonces amplificamos...