operaciones con Rn

Conjunto Rn y operaciones lineales en Rn
Objetivos. Definir el conjunto Rn y operaciones lineales en Rn , estudiar propiedades de
las ultimas.
´
Requisitos. Conjunto de los n´meros reales R, propiedades de las operaciones aritm´ticas
u
e
en R. Se recomienda estudiar primero R3 .

Definici´n del conjunto Rn
o
1. Definici´n (n-tupla de n´ meros reales). Una secuencia (lista) de n n´meros
ou
u
reales se llama n-tupla de n´meros reales. Si a es una n-tupla de n´meros reales, entonces
u
u
denotamos sus componentes (entradas) por a1 , . . . , an .
2. Notaci´n para la tupla que consiste de los n´ meros dados. Si β1 , . . . , βn son
o
u
algunos n´meros reales, entonces para la tupla que consiste de estos n´meros usamos la
u
u
siguiente notaci´n:
o
n
βk k=1 .
Notemos quea = ak

n
.
k=1

3. Definici´n (igualdad de tuplas). Sean a y b algunas tuplas de n´meros reales.
o
u
Se dice que a y b son iguales si son de la misma longitud y todas sus componentes
correspondientes son iguales:
ak

m
k=1

= bk

n
k=1

⇐⇒

m=n

∀k ∈ {1, . . . , n}

y

ak = b k .

4. Observaci´n. Hay diferencias entre la igualdad de tuplas y la igualdad deconjuntos.
o
En las tuplas es importante el orden de los elementos:

 

7
4
 −2  =  −2  .
{7, −2, 4} = {4, −2, 7},
pero
4
7
Adem´s,
a

{−5, 1, −5} = {−5, 1},

pero


−5
 1 =
−5

−5
1

.

Conjunto Rn y operaciones lineales en Rn , p´gina 1 de 6
a

5. Notaci´n Rn para el conjunto de todas las n-tuplas de n´ meros reales.
o
u
n
Sea n un n´mero enteropositivo. Denotemos por R al conjunto de todas las n-tuplas
u
´
´
´
de n´meros reales. En el curso de Algebra Lineal (Algebra II y Algebra III) es c´modo
u
o
n
escribir elementos de R como columnas. Por ejemplo,




−3
√
0
 2 
4


 − ln(5)  ∈ R3 .
 π ∈R ,
0
−8

Operaciones lineales en Rn
6. Definici´n (suma de dos n-tuplas). La adici´n de n-tuplas se define por compooo
nentes (entrada por entrada):
ak

n
k=1

+ bk

n
k=1

:= ak + bk

n
.
k=1

En otras palabras, si a, b ∈ Rn , entonces a + b se define como un elemento de Rn cuya
k-´sima componente es igual a
e
(k ∈ {1, . . . , n}).

(a + b)k = ak + bk

7. Definici´n (producto de una n-tupla por un n´ mero). La multiplicaci´n de
o
u
o
n-tuplas por n´meros se define por componentes (osea entrada por entrada):
u
λ ak

n
k=1

:= λak

n
.
k=1

En otras palabras, si a ∈ Rn y λ ∈ R, entonces λa es un elemento de Rn tal que
(λa)k = λak

(k ∈ {1, . . . , n}).

8. Ejemplos.
  √ 
5 3
5
√  


√  − 3   −3 

=
.
3
0   0 

 



√
7 2
−1.5

+

√
−5 2
6

=

√
2 2
4.5

,

2
7

√
2 3
7

9. Definici´n (vectoresaritm´ticos). Las n-tuplas reales consideradas con estas operao
e
ciones se llaman a menudo vectores aritm´ticos reales. Cuando se consideran los productos
e
n
de la forma λa, donde λ ∈ R y a ∈ R , los n´meros λ se llaman escalares.
u
Conjunto Rn y operaciones lineales en Rn , p´gina 2 de 6
a

Propiedades asociativa y conmutativa de la adici´n en Rn
o
Recordemos que la adici´n de losn´meros reales cumple con la propiedad asociativa:
o
u
∀α, β, γ ∈ R

(α + β) + γ = α + (β + γ).

(1)

Vamos a demostrar una propiedad similar en Rn bas´ndonos en la propiedad (1) y en la
a
n
definici´n de la adici´n en R .
o
o
10. Propiedad asociativa de la adici´n en Rn .
o
∀a, b, c ∈ Rn

(a + b) + c = a + (b + c).

(2)

Primera demostraci´n.
o
(a + b) + c

(i)

==
=(ii)

==
=
(iii)

==
==
(iv)

==
==
(v)

==
=
(vi)

==
==
(vii)

==
==

n
k=1

ak

ak + bk

+ bk
n
k=1

n
k=1

+ ck

+ ck

n
k=1

n
k=1

n

(ak + bk ) + ck

k=1
n

ak + (bk + ck )

k=1

ak

n
k=1

+ bk + c k

ak

n
k=1

+

bk

n
k=1

n
k=1

+ ck

n
k=1

a + (b + c).

Justificaci´n de los pasos:
o
(i), (vii)...