operaciones de tenzores

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Leccion

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Gradiente, divergencia y rotacional
2.1.

Gradiente de un campo escalar

Campos escalares. Un campo escalar en Rn es una función f : Ω → R, donde Ω es un
subconjunto de Rn . Usualmente Ω será un conjunto abierto. Para n = 2 tenemos un campo
escalar en el plano, que tendrá la forma (x, y) → f (x, y) . Para n = 3 tendremos un campo
escalar en el espacio, dado por unaexpresión (x, y, z) → f (x, y, z).
En Física, un campo escalar f : Ω → R describe una magnitud con valores escalares, de
forma que Ω es una región del plano o del espacio y, para cada punto x ∈ Ω, f (x) es el valor
en el punto x de dicha magnitud física. Piénsese, por ejemplo, en un campo de temperaturas.
Definición de gradiente. Sea f un campo escalar definido en un abierto Ω ⊆ Rn y sea
a = (a1, a2 , . . . , an ) ∈ Ω. Supongamos que f es diferenciable en el punto a, con lo que existen
las n derivadas parciales de f en a:
∂f
f ( a + t ek ) − f (a)
∂f
(a) =
(a1 , a2 , . . . , an ) = l´m
ı
t→0
∂xk
∂xk
t

(k = 1, 2, . . . , n),

donde {e1 , e2 , . . . , en } es la base standard de Rn . Entonces, el gradiente de f en el punto a es,
por definición, el vector ∇ f (a) = ∇ f (a1, a2 , . . . , an ) ∈ Rn dado por
∇ f (a) =

∂f
∂f
∂f
(a),
(a), . . . ,
(a)
∂x1
∂x2
∂xn

n

=

∂f

∑ ∂xk (a1, a2, . . . , an) ek

k=1

Si el campo f es diferenciable en todos los puntos de Ω tendremos una función ∇ f : Ω → Rn
que a cada punto x ∈ Ω hace corresponder el vector gradiente en dicho punto, ∇ f (x). Es natural
entonces escribir:
n
∂f ∂f
∂f
∂f
∇f =
,,...,
= ∑
ek ,
∂x1 ∂x2
∂xn
∂xk
k=1
una igualdad entre funciones, válida en todo punto de Ω.

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2. Gradiente, divergencia y rotacional

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Gradiente en el plano. Para un campo escalar plano (x, y) → f (x, y), que sea diferenciable
en un punto a = (x0 , y0 ), tendremos
∇ f (a) = ∇ f (x0 , y0 ) =

∂f
∂f
(a) , (a)
∂x
∂y

=

∂f
∂f
(x0 , y0 ) i +
(x0 , y0 ) j
∂x
∂yCuando f sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R2 podremos escribir
∇f =

∂f ∂f
,
∂x ∂y

=

∂f
∂f
i+
j
∂x
∂y

(en Ω)

Gradiente en el espacio. Análogamente, si (x, y, z) → f (x, y, z) es un campo escalar en el
espacio, diferenciable en un punto a = (x0 , y0 , z0 ), tendremos
∂f
∂f
∂f
(a) , (a) , (a)
∂x
∂y
∂z
∂f
∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 ) i +
(x0 , y0 , z0 ) j +
(x0 , y0 , z0) k
=
∂x
∂y
∂z

∇ f (a) = ∇ f (x0 , y0 , z0 ) =

y cuando f sea diferenciable en un abierto Ω ⊆ R3 podremos escribir
∇f =

∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z

=

∂f
∂f
∂f
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z

(en Ω)

Derivadas direccionales. Consideremos de nuevo un campo escalar f definido en un abierto Ω ⊆ Rn y diferenciable en un punto a ∈ Ω. Fijado un vector u = (u1 , u2 , . . . , un ) ∈ Rn conu = 1, sabemos que la derivada direccional de f en la dirección u viene dada por:
f ( a + t u ) − f (a)
∂f
(a) = l´m
ı
=
t→0
∂u
t

n

∂f

∑ ∂xk (a) uk =

∇ f (a) | u

k=1

y mide la rapidez de variación de f al desplazarnos desde el punto a en la dirección del vector
u. La desigualdad de Cauchy-Schwartz nos da
∂f
(a) = ∇ f (a) | u
∂u

| ∇ f (a) | u |

∇ f (a)

u = ∇f (a)

Si ∇ f (a) = 0, podemos conseguir que las desigualdades anteriores sean igualdades tomando
∇ f (a)
u=
y tenemos una interpretación física del gradiente de un campo escalar: ∇ f (a)
∇ f (a)
es la máxima rapidez de variación del campo que podemos conseguir al desplazarnos desde el
punto a ; esta máxima variación se produce en la dirección del vector gradiente, más concretamente, elmáximo aumento se consigue en el sentido del vector gradiente y la máxima disminución en sentido opuesto.

2. Gradiente, divergencia y rotacional

2.2.

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Campos vectoriales

Campos vectoriales. Un campo vectorial en Rn es una función F : Ω → Rn donde Ω
es un subconjunto de Rn que usualmente será abierto. Por tanto, un campo vectorial tiene n
coordenadas, que son campos escalares;...