Optimización Lienal

La empresa METRO DE MADRID S.A. nos ha encargado llevar a cabo el siguiente proyecto:
Deberemos organizar los turnos de trabajo de los conductores del Metro de Madrid durante el primer turno de mañana que comprende desde las 7:00 hasta las 14:00 horas. Existen más turnos pero únicamente vamos a centrarnos en este pues es el que más afluencia recibe.
La condición que existe es que cadaconductor debe trabajar cinco días a la semana y debe librar necesariamente dos días, los cuales deben ser consecutivos.
Las necesidades de conductores para cada día de la semana son las siguientes (consideramos el viernes y el sábado como los días de mayor afluencia):


El coste por semana de un conductor es de 500 €, sin embargo si trabaja un día del fin de semana este se incrementa en 90 € ysi trabaja los dos (tanto sábado como domingo) se incrementa en 180 €, es decir 90 por cada día del fin de semana.
Nuestro objetivo será asignar el número de conductores a cada uno de los siete turnos posibles de forma que el coste en el que se incurra sea mínimo.

2. DATOS

Los datos según hemos planteado este caso, son los que se resumen en la siguiente tabla:




3. PLANTEAMIENTOTal y como hemos mencionado antes, se trata de un problema en el que debemos de asignar el número de conductores de Metro de Madrid S.A. a cada uno de los siete turnos posibles de forma que el coste en el que se incurra sea mínimo.
 Definición de variables.

Xi indica el número de conductores que se debe asignar a cada uno de los turnos

Dónde: i = { S-D = libres los Sábados y Domingos, D-L= libres los Domingos y Lunes, L-M = libres los Lunes y Martes, M-X = libres los Martes y Miércoles, X-J = libres los Miércoles y Jueves, J-V = libres los Jueves y Viernes, V-S = libres los Viernes y Sábados }

Xi ∈ {0, 1, 2...}
 Definición de restricciones.

1) Cada día debe de haber, al menos el número mínimo de conductores requerido. Por ejemplo, el lunes tendrán que trabajar losconductores que libran el sábado-domingo, martes-miércoles, miércoles-jueves, jueves-viernes o viernes-sábado.

XS-D + XM-X + XX-J + XJ-V + XV-S ≥ 12
XS-D + XD-L + XX-J + XJ-V + XV-S ≥ 13
XS-D + XD-L + XL-M + XJ-V + XV-S ≥ 12
XS-D + XD-L + XL-M + XM-X + XV-S ≥ 12
XS-D + XD-L + XL-M + XM-X + XX-J ≥ 15
XD-L + XL-M + XM-X + XX-J + XJ-V ≥ 16
XL-M + XM-X + XX-J + XJ-V + XV-S ≥ 10

2) Todoslos turnos deberán estar cubiertos, con lo que ninguno de ellos podrá ser igual o inferior a 0
Xi ≥ 1
3) Deberán ser números enteros
Xi = integer

En el siguiente gráfico se puede comprobar cuando cada turno puede trabajar durante la semana teniendo en cuenta los días libres anteriormente comentados:

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Xs-d
Xd-lXl-m
Xm-x
Xx-j
Xj-v
Xv-s
Mín. 12 13 12 12 15 16 10



 Definición de la función objetivo.

Tenemos que buscar la combinación de conductores que cumpliendo todas las especificaciones planteadas minimicen el coste, que viene dado por lo que cobra cada conductor y que depende de que trabaje o no algún día del finde semana.
El coste del día laborable es el que viene especificado en el enunciado de 500 euros. Si trabaja un día del fin de semana, sábado o domingo, hay que añadirle 90 euros y si trabaja dos 180 euros.

Min (z) = 500XS-D + 590XD-L + 680XL-M + 680XM-X + 680XX-J + 680XJ-V + 590XV-S
4. CONCLUSIONES

Resultados Solver
Celdas Cambiantes
Xs-d 1
Xd-l 6
Xl-m 1
Xm-x 2
Xx-j 5
Xj-v 2
Xv-s2



En la siguiente tabla se puede comprobar que con los datos obtenidos se cumplen las restricciones indicadas:
RESTRICCIONES
Turnos que puedan trabajar Combinación Variables Sentido Nº mín Conductores
Lunes XS-D + XM-X + XX-J + XJ-V + XV-S 12 ≥ 12
Martes XS-D + XD-L + XX-J + XJ-V + XV-S 16 ≥ 13
Miércoles XS-D + XD-L + XL-M + XJ-V + XV-S 12 ≥ 12
Jueves XS-D + XD-L + XL-M +...