Optimizacion Elipse













Jorge Emilio Baeza Barrera-IV°B Matemático

Aplicaciones de las Derivadas
Aplicadas a la Microeconomía
Descripción del Problema
Carola consume sólo dos bienes, a los quellamaremos X e Y. Su función utilidad es
.
Suponga que el precio de X es de $10 y el precio de Y es $15. El ingreso de Carola es de $500.
Determine la combinación de X e Y que maximiza lautilidad de Carola, dada su restricción presupuestaria. Calcule la tasa de sustitución marginal en este punto.
Solución del Problema
Por enunciado se tiene que el ingreso de Carola es de $500 y además queel precio de X es $10 y el de Y es $15, por lo tanto la restricción presupuestaria queda definida como:

Ya que la suma del producto de las cantidades de bienes por sus respectivos precios no debeser mayor que su ingreso, para que no le falte dinero.

Grafico Restricción Presupuestaria Carola
Para determinar la pendiente de la recta de la restricción presupuestaria, derivamos la siguienteexpresión:

La cual se obtiene de (2), ya que la recta se encuentra en la frontera de la restricción presupuestaria.
Luego de derivar la expresión es gratis ver que la pendiente de la recta esComo queremos optimizar la utilidad de Carola, lo más lógico es que nos situemos en la frontera de la restricción presupuestaria. Para ello, despejamos X en la ecuación (3). (Esto es para facilitar laaritmética) y la reemplazamos en la ecuación (1), la cual corresponde a la función utilidad (la cual queremos optimizar), quedando una función de una variable.


Para encontrara el óptimo a estafunción es necesario derivarla e igualarla a cero. Una vez hecho eso, estaremos ante la presencia de un mínimo o un máximo de esta función, si es que posee. Cabe mencionar que esta función es derivable,ya que es suma de funciones derivables, además de que es continua en todo su Dominio, así que podemos proceder.

Ahora igualando a cero

Con esto podemos despejar X, el cual es

Y la...