Orden Y Valor Absoluto En R, Y La Recta Real E Intervalos.

Orden y valor absoluto en R, y La recta real e Intervalos.

Orden en R.
Relaciones de orden en R.
Relaciones “Mayor que” Y “Menor que” en R.
En general, dados los números reales a y b, a es mayor, que b si a está situado a la derecha de b sobre la recta numérica. Se escribe: a > b y se lee: “a es mayor que b”
Sí a > b, entonces a – b > 0
Así por ejemplo 23> - 5,ya que, 23--5= 23+ 5>0
Gráficamente:
Dados los números reales a y b, a es menor que b si a está situado a la izquierda de b sobre la recta numérica.
Para expresar que un número real a es menor que otro número b, se escribe: a < b.
Por ejemplo, -2< -22 observa la posición en la tabla numérica:

De la recta numérica se puede deducir que:
* Cualquier número positivo es mayor que cualquiernúmero negativo.
* Cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo.
Las relaciones de desigualdad se pueden expresar de otra forma:
a > b → a – b > 0 b < a → b – a < 0
Relaciones “Mayor o igual que” y “Menor o igual que”
Dados dos números reales a y b, se dice que a es mayor o igual que b y se escribe a ≥ b, si se cumple cualquiera de lassiguientes condiciones:
* a es mayor que b (a > b ) o a es igual a b (a = b)
El símbolo ≥ se lee: “Mayor o igual”
Simbólicamente, las dos condiciones anteriores se expresan a ≥ b.
Por ejemplo, 5>2 porque 2,236….>2 y 3 ≥3 porque 3=3
Dados los números reales a y b, se dice que a es menor o igual que b y se escribe a ≤ b, si cumple cualquiera de las siguientes condiciones:
* aes menor que b ( a < b ) o a es igual a b ( a = b). Estas condiciones se resumen en a ≤ b. Por ejemplo, -1 ≤ 3 porque-1<1,73 y 5<5 porque 5=5
Orden en R.
Dados dos números reales a y b siempre se cumple uno de los siguientes casos:
a > b a < b a = b
Para ordenar un conjunto de números reales, se comparan dichos números y seestablecen las relaciones de orden ( > , < o =) que existen entre ellos.
Por ejemplo para ordenar 5y 23 observa lo que se realiza. Se calcula su diferencia: 5- 23=2,24-2·1,73=2,24-3,46= -1,22<0.
Como el resultado es negativo, significa que 23> √5
Un conjunto de números reales se puede ordenar en forma decreciente (mayor a menor), utilizando la relación >. Si aparecen númerosirracionales se deben aproximar. Por ejemplo, para ordenar en forma decreciente los números 0,065 ; -1,3 ; -53 ; 4,5 ; 0,06 ; 0,1 ; 8,32 ; √52, utilizando la relación > con aproximación a las centésimas fíjate en lo que se realiza
Se escriben los números racionales y los irracionales en forma decimal, con aproximación a las centésimas, es decir, con dos cifras decimales:
- 53= -1,67 √52=1,12Luego se ordenan los números de mayor a menor:
8,32 > 4,5 > 1,12 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > -1,3 > -1,67
Entonces los números con los valores originales quedarían ordenados así:
8,32 > 4,5 > √52 > 0,1 > 0,0065 > 0.06 > -1,3 > -53
Para ordenar en forma creciente ( e menor a mayor) un conjunto de números reales se utiliza el signo <. Sí hay números queno están expresados en forma decimal, se escriben en forma decimal, y luego se comparan y se ordenan. Por ejemplo para ordenar en forma creciente los números 13 ; -1,3 ; -3; π ;22;0,015, observa como se realiza:
Primero se escriben los números en forma decimal aproximados, por ejemplo a las decimas:
13=0,3 -3= -1,7 π=3,1 22=2,8
Luego se ordenan de menor a mayor:
-1,7 < -1,3< 0,065 < 0,3 < 2,8 < 3,1
Y se reemplazan los valores. Resulta: -3< -1,3<0,015< 13<2√2

Propiedades de las relaciones de orden
En el conjunto de los números reales puede ordenarse mediante la relación menor o igual que (≤). Esta es una relación de orden, ya que cumple con las siguientes propiedades:
* Reflexiva: a ≤ b,...