Origen Del Estado

Introducción
La grafica de una función de tres variables por lo general (x,y,z) representa una superficie en el espacio de !3. Una función de tres variables asocia cada terna ordenada (x,y,z) mediante esta relación .
La grafica de la ecuación (x,y,z)=0, es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen esta ecuación, y esta representación grafica de la función mencionadaanteriormente, recibe el nombre de superficie en !3.
Los ejemplos mas simples de superficies en el espacio de !3 son los planos con ecuación lineal Ax+By+Cz+D=0.
Para graficar una superficie en el espacio tridimensional, es útil examinar sus intersecciones con varios planos, como por ejemplo con el plano xy, yz, xz, o también otros planos no tan comunes como estos tres.
La traza de la superficie en elplano es la intersección de estas dos graficas de superficies. Por ejemplo si tenemos una esfera que se intercepta con el plano xy, se puede ver claramente que la traza de esta esfera con respecto al plano es una circunferencia de radio “r” que dependerá de la ubicación de la esfera respecto al plano. Esto se cumplirá si las dos superficies se interceptan entre si pero no son tangentes.
Paravisualizar una superficie especifica en el espacio, por lo general basta examinar sus trazas en los planos coordenados y posiblemente unos cuantos planos paralelos a estos.
Existen distintos tipos de superficies en el espacio, dentro de las cuales se encuentran:
- Superficies Implícitas. F(x,y,z)=0
Cuádricas
Superficies equipotenciales.
- Superficies Explicitas. z=f(x,y);
- SuperficiesParamétricas. (x,y,z)=f (u,v)
Las Explicitas se tratan como paramétricas.
Bezier, BSplines, NURBS.
En este trabajo solo superficies dentro del espacio !3 y veremos las respectivas graficas de las funciones mas usadas.


SUPERFICIES CUÁDRICAS

Definición. Se llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la forma
F(x, y,z) = 0
Definición. Se llama superficie cuádrica, o simplemente cuádrica, aquella cuya ecuación es de la forma:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 .......... (a)


En donde, por lo menos, de los seis coeficientes A, B, C, D, E y F es diferente de cero.
Las superficies se clasifican en:

i) Elipsoides.
ii) Paraboloides.
iii) Cilindros.
iv) Conos
v) Hiperboloides.En el caso de que los tres coeficientes D, E y F sean nulos simultáneamente, el eje o los ejes de la superficie son paralelos a los ejes coordenados. En estas circunstancias, los signos de los coeficientes A, B y C permiten hacer una pre-identificación de la superficie:

Si A, B y C tienen el mismo signo, la ecuación representa un elipsoide.
















Como un casoparticular, la ecuación puede representar un punto.
Por ejemplo, la ecuación (x −1)2 + (y + 3)2 + z2 = 0 representa al punto de coordenadas (1, -3, 0).
También, puede representar el caso de que la ecuación no represente lugar geométrico alguno.
Por ejemplo, la ecuación x2 + y2 + z2 +16 = 0 no representa lugar geométrico alguno ya que no existen valores reales de x, y y z que la satisfagan.
Si dos delos coeficientes son positivos y el otro es negativo, la ecuación representa un hiperboloide o un cono.



















Si uno de los coeficientes A, B o C es nulo, la ecuación representa un paraboloide.














Si dos coeficientes A, B o C son nulos, la ecuación representa un cilindro parabólico.















Si los coeficientes A, By C son nulos, la ecuación representa un plano (en este caso, la superficie no es cuádrica).


Si la ecuación (a) consta tan solo de dos variables, representa un cilindro recto cuya recta generatriz es perpendicular al plano coordenado cuyas variables aparecen en la ecuación. En esta situación, el cilindro toma el nombre de la curva directriz.










Como un caso particular,...