Origen del teorema de bayes

ORIGEN DEL TEOREMA DE BAYES

La ciencia estaba ofreciendo una nueva revelación. Dos sacerdocios se enfrentaban en conflicto: el uno dedicado al moldeamiento del carácter mediante la religión, el otro a la educación del intelecto mediante la ciencia.

El Reverendo Thomas Bayes estaba dividido en ese conflicto. Como sacerdote y como matemático, estaba afectado por las relaciones causa - efecto.Tanto el teorema que lleva su nombre como el concepto de "probabilidad subjetiva" de él derivado han producido una revolución en nuestro tiempo.

La regla de Bayes es solo una técnica para calcular probabilidades condicionales, y como regla de probabilidad es indiscutible así como su validez. A partir de un conjunto de probabilidades llamadas "a priori" o "sin corregir", calcula un conjunto deprobabilidades "a posteriori" o "corregidas" que no son más que una modificación de las primeras ante la evidencia de que un determinado suceso ha ocurrido.

Para aclarar estos conceptos, observemos a continuación la diferencia entre el planteo de probabilidad condicional realizado hasta este momento y el de Bayes. Cuando nosotros escribimos:

P(B|A) decimos que esto es

- la probabilidad deque habiendo ocurrido el suceso A, ocurra B. Probabilidad condicional.

El planteo que hace la Regla de Bayes es:

- el suceso B ha ocurrido, cual es la probabilidad de que provenga de A. Que
A sea causa de B. O sea debo hallar P(A|B).
Partiendo de las fórmulas de probabilidad condicional y probabilidad conjunta para eventos estadísticamente dependientes se procederá a enunciar el Teoremade Bayes.
Teorema de Bayes, a veces llamado regla de Bayes o el principio de la probabilidad inversa, es un teorema matemático que sigue muy rápidamente de los axiomas de la teoría de la probabilidad. En la práctica, se utiliza para calcular la probabilidad actualizada de algún fenómeno de destino o la hipótesis H dado nuevos datos empíricos X y algunos antecedentes, o la probabilidad previa.EJEMPLOS DEL TOREMA DE BAYES
* El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

* Laprobabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A= Sonar la alarma.

* Dos maquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe que A produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide:
1) Probabilidad de que sea defectuosa.
2) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.
Indiquemos por: MA = {la pieza procede de la maquina A}
MB ={la pieza procede de la maquina B}

Entonces Ω = {300 piezas} = MA + MB
Ρ (ΜA) = 1/3 Ρ (ΜB) = 2/3
1) Sea D = {la pieza defectuosa}

P (D) = P (D / MA) * P (MA) + P (D / MB) * P (MB) = (0,05) * 1/3 + (0.06) * 2/3 = 0.0567

2) Es la probabilidad de MA condicionada a la presencia de D
P (D / MA) * P (MA) (O.O5)1/3
P (MA / D) = = = 0.2941
P (D / MA) * P (MA) + P (D / MB) * P (D /MB) 0.0567



* APLICACION EN LA INDUSTRIA
Hoy en día la estadística es necesaria y se utiliza en todos los sectores industriales. Teniendo en cuenta la aplicación de este teorema, hace que...