OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE PROBLEMAS RESUELTOS

Movimiento Armónico Simple.
Problemas

Movimiento Armónico Simple. Problemas

OSCILADOR
ARMONICO SIMPLE

PROBLEMAS:

1. (1.54 seto) Un cilindro sólido homogéneo de masa m se sujeta por medio de un resorte de
constante k lb/pul y reposa sobre un plano inclinado, como se muestra en la figura anexa.
Si el cilindro rueda sin deslizar, demuestre que su frecuencia de oscilación esrad/seg.

SOLUCIÓN:

Cuando el sistema se encuentra en equilibrio estático, como se indica en la figura (1),

3

2𝑘/3𝑚

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la suma de los momentos de fuerza respecto al punto A es igual a cero, es decir:
↺

𝜏𝐴

= 0: R m g sen𝜃0 - R 𝑇0 = 0

(1)

Si el sistema se desplaza un ángulo 𝜃 a partir de la posición de equilibrio, como se muestra en lafigura (2), la ecuación dinámica

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de rotación respecto al punto A viene dada por:
↺

𝜏𝐴

= 𝐼 𝐴 𝛼 : mg sen ( 𝜃 + 𝜃0 ) – R (𝑇0 + T) sen (90 – 𝜃) = 𝐼 𝐴

𝑑2 𝜃
𝑑𝑡 2

Pero:
sen ( 𝜃 + 𝜃0 ) ≈ sen 𝜃0
sen (90 – 𝜃) ≈ sen 90° = 1

Además, de acuerdo al teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia respect al eje
instantáneo de rotación vienedado por:

𝐼 𝐴 = 𝐼 𝑐.𝑚 + m 𝑅 2 =

1
2

3

𝑚 𝑅 2 + m𝑅 2 = 2 𝑚𝑅 2

Luego:

mg sen 𝜃0 − 𝑅 𝑇0 − 𝑅 𝑇 =

3
2

𝑚𝑅 2

𝑑2 𝜃
𝑑𝑡 2

(2)

Insertando (1) en la ecuación (2), se obtiene:

-R T =

3
2

𝑚𝑅 2

𝑑2 𝜃
𝑑𝑡 2

Pero, de la Ley de Hooke:
T=kx=kR 𝜃
Entonces:
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-R (k R 𝜃) =

3
2

𝑚𝑅 2

𝑑2 𝜃
𝑑𝑡 2

Luego:
𝑑2 𝜃
𝑑𝑡 23
2

Dividiendo por

𝑚𝑅 2

3
2

𝑚𝑅 2 :

+ k 𝑅2 𝜃 = 0

𝑑2 𝜃
𝑑𝑡 2

+

2𝑘
3𝑚

𝜃=0

(3)

Por consiguiente, la ecuación (3), corresponde a la ecuación diferencial de un oscilador armónico
simple cuya frecuencia angular natural de oscilación está dada por:

𝑤0 =

2𝑘
3𝑚

2. (6.7 Eisberg/Lerner) Un objeto realiza un movimiento armónico con una frecuencia de 5
𝐻 𝑧 . Eni= 0 s su desplazamiento es x( i = 0) = 10 cm y su velocidad v(i = 0) = -314 cm/s.
a. Utilice la información anterior para obtener una expresión analítica del deslazamiento
x(t) del objeto, su velocidad y su aceleración.
b. Exprese el desplazamiento en la forma x(t) = A cos (𝑤0 𝑡 + 𝛿) y determine los valores
de A y 𝛿 que estén de acuerdo con los dados del problema.
c. Calcule los valoresmáximos del desplazamiento x(t), la velocidad v(t) y la aceleración
a(t) del cuerpo.

SOLUCION:
a. La solución general de la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple es:

X(t) = 𝛽 cos 𝑤0 t + C sen𝑤0 𝑡

(1)

Derivando con respect al tiempo la ecuación (1), se obtiene la expresión para la velocidad así:

v(t) = - 𝛽 sen 𝑤0 t + 𝑤0 C cos𝑤0 𝑡
Derivando respecto al tiempo laecuación (2), se obtiene la aceleración, así:
6

(2)

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X(t = 0) = 10cm = 𝛽 cos 00 + C sen00
⇓

⇓

1

0

Luego:
𝛽 = 10cm
Además:
V(t =0) = -314 cm/s = - 𝛽 cos 00 + C sen00
⇓

⇓

1
2
→

0

-314 cm/s = 𝑤0 C = 2𝜋 f C

→

C=

−314 𝑐𝑚 /𝑠
2𝜋 (5𝐻 𝑧 )

= -9,99 cm ≈ −10 𝑐𝑚

Por consiguiente:
X(t) = 10 cos 10𝜋 𝑡 − 10 𝑠𝑒𝑛 10𝜋 𝑡
v(t) =-100𝜋 𝑠𝑒𝑛 10𝜋 𝑡 + 100𝜋 cos 10𝜋 𝑡
a(t) = -1.000𝜋 2 cos 10𝜋 𝑡 − 1.000𝜋 2 𝑠𝑒𝑛 10𝜋 𝑡

b. Si x(t) = A cos (𝑤0 𝑡 + 𝛿), derivando con respecto al tiempo se obtiene la velocidad:
v(t) =

𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡

= −𝑤0 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑤0 𝑡 + 𝛿

Derivando nuevamente respecto al tiempo, se obtiene la aceleración:

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a(t)=

𝑑𝑣 (𝑡)
𝑑𝑡

= −𝑤0 𝐴 cos 𝑤0 𝑡 + 𝛿

Usando lascondiciones iniciales del problema se obtienen los valores de A y 𝛿, así:
Para t = 0:
x(t =0) = A cos𝛿 =10 cm

(1)

v(t = 0) = -𝑤0 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛿 = − 314 𝑐𝑚/𝑠

(2)

Dividiendo la ecuación (2) por la ecuación (1):
𝑤0 𝑡𝑎𝑛𝛿 = 31,4
→

tan ð =

31,4
𝑤0

=

31,4
10𝜋

=

31,4
31,4

=1

𝜋

→ ð=4

(3)

Reemplazando en la ecuación (1):
A cos

→

A=

𝜋
4

= 10cm

10𝑐𝑚...