oscilador cuantico metodo analitico

Universidad Aut´
onoma de
Chihuahua: Facultad de Ingenier´ıa
Mec´
anica cu´
antica.
M´etodo anal´ıtico para resolver el oscilador cu´
antico.
Titular:
Ing. Jorge Guzm´an.
Alumnos:
Ang´elica Ch´avez
Luis Arag´on
Fecha:
5/09/14

1

´ ANAL´ITICA DE LA PARTE ESPACIAL DE UNA FUNCION
´ DE
RESOLUCION
´
ONDA DE UN OSCILADOR CUANTICO.
Una part´ıcula de masa m bajo la acci´on de unpotencial de la forma1 :
1
m ω 2 x2
2
Queda totalmente definida por la funci´on de onda2 :
V (x) =

Ψ(x, t) = ψ(x) e− i

E

t

Con E y ψ(x) definidas seg´
un la ecuaci´
on de Schr¨
odinger independiente del
tiempo:
2

1
m ω 2 x2 ψ(x) = E ψ(x)
2m
2
Antes de resolver la ecuaci´on diferencial anterior reescrib´amosla de una forma m´as
conveniente con el cambio de variable:
−ψ (x) +

mω

ξ =

x

Observemos que hacer esto nos reporta varias ventajas:
1. El cambio de variable solo es un re-escalado de la variable original, es decir, u
´nicamente cambia la escala o la manera en que medimos nuestro problema, pero no
cambia la forma del mismo, siendo nuestra nueva escala m´as sencilla de manejar.
2. La nueva variable ξ es adimensional, algo que podemosverificar r´apidamene con
un an´alisis dimensional:

ξ [=]

kg
J. s2

1
2

m [=]

kg. s2
kg. m2 . s2

1
2

m [=] 1

Para reescribir nuestra ecuaci´on de Schr¨odinger independiente del tiempo en t´erminos
de la nueva variable ξ, simplemente tenemos que calcular las derivadas con respecto a x en
t´erminos de derivadas con respecto a ξ usando la regla de la cadena:
d
d
dξ
=
·=
dx
dξ dx
1

mω d
dξ

Con ω definida como la frecuencia caracter´ıstica de un oscilador cl´asico, es decir ω 2 = k/m.
El potencial es independiente del tiempo, as´ı que podemos aplicar el m´etodo de separaci´on de variables
para resolver la ecuaci´
on de Schr¨
odinger obteniendo una parte temporal e− i E t/ y una parte espacial ψ(x).
2

2

d2
d
=
2
dx
dx

d
dx

=mω d
dξ

=

d
dx

d
dx

mω d
dξ
=

m ω d2
d ξ2

De esta forma nuestra ecuaci´on diferencial se transforma a:
2

−

−

mω

2m

ψ (ξ) +

mω

ξ 2 ψ(ξ) = E ψ(ξ)

1
1
ω ψ (ξ) +
ω ξ 2 ψ(ξ) = E ψ(ξ)
2
2

ψ (ξ) − ξ 2 ψ(ξ) = −

de

1
m ω2
2

E
ψ(ξ)
ω /2

Definiendo K como otra constante adimensional que nos expresa la energ´ıa por unidad
ω:

1
2

ψ(ξ) = {ξ 2 − K} ψ(ξ)
Si bien ya redujimos a una expresi´on m´as sencilla la ecuaci´on diferencial (nos olvidamos
de todas las constantes y simplemente nos enfocamos en su naturaleza) vemos que la ecuaci´on tiene sus pros y sus contras: es una ecuaci´on diferencial ordinaria, lineal y homog´enea
(pros) pero sus coeficientes no son constantes (contra). En particular tampoco cumple la
forma deuna ecuaci´on de Cauchy - Euler, de modo que tendremos que usar un poco m´as
de ingenio para resolverla.
Nuestro mejor m´etodo en estos casos es comprobar que nuestra soluci´on es una funci´on
anal´ıtica en ξ0 , y aproximarla por una serie de potencias de ξ a dicho punto en una regi´on
de convergencia definida:
+∞

an (ξ − ξ0 )n

ψ(ξ) =

| ξ − ξ0 | < R

n=0

En particular es m´assencillo hacerlo en el origen (donde efectivamente la ecuaci´on
diferencial nos dice que ψ es anal´ıtica 3 ):
+∞

an ξ n

ψ(ξ) =

| ξ |< ∞

n=0
3

Nuestra ecuaci´
on diferencial cumple la forma ψ (ξ) +
ser un polinomio, es decir, una funci´
on entera.

3

P (ξ)
Q(ξ)

ψ(ξ) = 0, donde

P (ξ)
Q(ξ)

es anal´ıtica en 0 por

A´
un as´ı el proceso de encontrar cada coeficientean exacto es laborioso y puede llegar
a complicarse demasiado. Es por esto que como alternativa ofrecemos primero analizar un
poco el comportamiento de nuestra funci´on antes de buscarla por fuerza bruta. Veamos
c´omo se comporta en la regi´on m´as alejada del centro del potencial parab´olico (x muy muy
grande): en este caso ξ es muy muy grande mientras K se mantiene constante, por lo...