Oscilador Armónico Cuántico

El oscilador armónico cuántico es el análogo mecánico cuántico del oscilador armónico clásico. Es uno de los sistemas modelo más importante en mecánica cuántica, ya que cualquier potencial se puedeaproximar por un potencial armónico en las proximidades del punto de equilibrio estable (mínimo). Además, es uno de los sistemas mecánico cuánticos que admite una solución analítica sencilla.
En elproblema del oscilador armónico unidimensional, una partícula de masa está sometida a un potencial cuadrático . En Mecánica Clásica se denomina constante de fuerza o constante elástica, y depende de lamasa de la partícula y de la frecuencia angular .
El Hamiltoniano cuántico de la partícula es:


donde es el operador posición y es el operador momento . El primer término representa laenergía cinética de la partícula, mientras que el segundo representa su energía potencial. Con el fin de obtener los estados estacionarios (es decir, las autofunciones y los autovalores del Hamiltoniano ovalores de los niveles de energía permitidos), tenemos que resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

.
Se puede resolver la ecuación diferencial en la representación decoordenadas utilizando el método de desarrollar la solución en serie de potencias. Se obtiene así que la familia de soluciones es




donde representa el número cuántico vibracional. Las ocho primerassoluciones () se muestran en la figura de la derecha. Las funciones son los polinomios de Hermite:


No se deben de confundir con el Hamiltoniano, que a veces se denota por H (aunque es preferibleutilizar la notación para evitar confusiones). Los niveles de energía son

.
Este espectro de energía destaca por tres razones. La primera es que las energías están "cuantizadas" y solamente puedentomar valores discretos, en fracciones semienteras 1/2, 3/2, 5/2, ... de . Este resultado es característico de los sistemas mecano-cuánticos. En la siguiente sección sobre los operadores escalera...