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Curva simple. Curva simple cerrada.

Curva simple es la imagen de una función vectorial inyectiva . En cada curva simple se pueden distinguir dos orientaciones La curva simple junto con susentido de orientación se llama curva simple orientada.

Si además la curva es simple cerrada o curva cerrada según sea o no inyectiva. Las curvas cerradas también puede orientarse.








Camposconservativos

Un campo vectorial es conservativo si y sólo si la integral curvilínea a lo largo de cualquier curva cerrada es cero.

Función potencial

Un campo vectorial es un campo de gradientes si ysólo si existe una función U(x;y) , llamada función potencial, tal que : , o bien : U’x =P(x;y) y U’y =Q(x;y)..

Si .

Condición necesaria para la existencia de la función potencial.

Si  es uncampo de gradientes, siendo P(x;y), Q(x;y), P’y (x;y) y Q’x (x;y) continuas en un conjunto plano abierto y conexo, entonces P’y (x;y) = Q’x (x;y) en todo punto de dicho recinto.

En efecto:Si ), entonces existe U(x;y) /



Por el Teorema de Schwarz, al existir y ser continuas , las derivadas segundas cruzadas deben ser iguales .
Por lo tanto: P’y (x;y)= Q’x(x;y)

Importante: La condición es necesaria pero no suficiente.
Veamos un ejemplo: Si un campo vectorial continuo es de gradientes, su integral curvilínea a lo largo de cualquier curva cerrada es cero.Consideremos: . Veamos si las derivadas cruzadas de las componentes son o no iguales.

y

Resulta: P’y (x;y)= Q’x (x;y)

Calculemos la integralcurvilínea de a lo largo de la curva imagen de la función vectorial .

Reemplazamos por: . Como sobre la curva x 2 +  y 2 =1, se tiene:

Es decir: la integral curvilínea sobre una curva cerrada no esnula y por lo tanto no es un campo conservativo, aunque se cumpla la igualdad de las derivadas.

Observemos que las componentes y sus derivadas son continuas en R2 -{(0;0)} que es un conjunto...