parabola de tres puntos

Encontrar la ecuación de la parábola que tiene el eje vertical y pasa por los puntos ( 8; 5), (4; 8) y (16; 7).
Solución:
Al ser el eje de la parábola vertical, la ecuación de laparábola es necesariamente de la forma
(x

2

h) = 4a (y

k)

donde el vertice esta en (h; k) y el foco está en (h; k + a).
Tenemos ahora tres incógnitas: h; k y a.Tenemos tres ecuaciones, una para cada uno de los puntos,
2

( 8
(4
(16

h) = 4a (5
2

h) = 4a (8

k)
k)

2

h) = 4a ( 7

k)

Que quedan como
h2 + 16h

20a + 4ak +64 = 0

h2

8h

h2

32h + 28a + 4ak + 256

32a + 4ak + 16 = 0

Restando la segunda de la primera, obtenemos
24h + 12a + 48 = 0
24h

60a

240 = 0

Volviendo arestar la segunda de la primera, nos da
72a + 288 = 0
cuya solución es
a=

4

Sustituyendo ahora en la ecuación obtenida más arriba,
24h + 12a + 48 = 0
llegamos a que
24h + 12( 4) + 48 = 24h = 0
es decir,
h = 0:
Finalmente sustituyendo en alguna de las primeras, digamos en la primera,
h2 + 16h

20a + 4ak + 64 = 0

tenemos
20 ( 4) + 4 ( 4) k + 64= 0
que tiene como solución
1

k=9
Así que la parábola tiene vertice en el punto (0; 9) y foco en el punto (0; 5).
Sustituyendo los valores de h; k y a en la ecuación
2

(xh) = 4a (y

k)

llegamos a
x2

9) = x2 + 16y

4 ( 4) (y

144 = 0

que es la ecuación de la parábola.
A continuación, como comprobación, sustituimos los valores delos tres puntos ( 8; 5), (4; 8) y (16; 7) en la ecuación
de la parábola y vemos que la satisfacen:
2

( 8) + 16 (5)
2

(4) + 16 (8)
2

144 = 0
144 = 0

(16) + 16 ( 7)144 = 0

Finalmente la grá…ca es

y

10

5

-20

-10

10

20

x

-5

-10

donde hemos puesto con la cruz, el círculo y el rombo a los tres puntos.

2