Parabola

Par´bola, elipse e hip´rbola a e
Enrique Morales Rodr´ ıguez
enmora@siu.buap.mx

Resumen Estas notas surgen como complemento del curso de Matem´ticas IV de la Prea paratoria Regional “Sim´n Bol´ o ıvar”. A estas alturas del curso ya debieran haberse cubierto los temas de recta y circunferencia de geometr´ anal´ ıa ıtica. Adem´s, recalcaa mos que se necesita un buen respaldo de ´lgebra yaritm´tica, por lo que si el lector a e necesita material de estos temas, puede puede pedirlos a la direcci´n electr´nica del o o autor

´ Indice
1. Par´bola a 1.1. Con v´rtice en el origen . . . . . . . . e 1.1.1. Eje focal en el eje x . . . . . . . 1.1.2. Eje focal en el eje y . . . . . . . 1.2. Con v´rtice en cualquier punto V (h, k) e 1.2.1. Eje focal paralelo al eje x . . . 1.2.2. Eje focalparalelo al eje y . . . . 2. Elipse 2.1. Con centro en el origen . . . . . 2.1.1. Con eje focal en el eje x. 2.1.2. Con eje focal en el eje y 2.2. Con centro en C(h, k) . . . . . 2.2.1. Eje mayor paralelo al eje 2.2.2. Eje mayor paralelo al eje 3. Hip´rbola e 3.1. Con centro en el origen . 3.1.1. Eje focal en el eje 3.1.2. Eje focal en el eje 3.2. Con centro en C(h, k) . . x y . . . . . . . . . . . .. . . . . x Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 5 5 6 7 7 7 9 9 9 11 11 11 12 13

. . . .

1

Par´bola a

1.Par´bola a
Definici´n: Es el lugar geom´trico de un punto que se mueve en un o e plano de tal manera que est´ siempre a la misma distancia de un punto a fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

En la figura 1 se muestran los elementos que forman una par´bola: El Foco (F ), la a directriz (d), el eje de la par´bola y los segmentos p (de la par´bola a la directriz) y p’ (de a a la par´bolaal foco), los cuales siempre cumplen la condici´n p = p . Estos elementos son a o las propiedades que determinaremos a partir de la ecuaci´n de la par´bola o, si conocemos o a estos, determinar la ecuaci´n. o El punto donde se cruza la par´bola con su eje se llama V´rtice (V ). Algunos autores a e citan tambi´n al “lado recto” de la par´bola, que es el segmento de recta perpendicular e a al ejede la par´bola, que pasa por el foco y toca en ambos extremos a la par´bola. a a En general, lo que debemos conocer de la par´bola son sus propiedades: a El foco F(x,y) El v´rtice V(x,y) e La longitud del lado recto El eje de la par´bola (eje focal) a La ecuaci´n de la directriz o Y todo eso se conoce a partir de: La ecuaci´n o

1.1.

Con v´rtice en el origen e

En este caso, el eje de lapar´bola, el cual tambi´n es su eje de simetr´ (eje focal), a e ıa corresponde a un eje coordenado y entonces tenemos dos casos cuando el eje de la par´bola a coincide con el eje x (par´bola horizontal) y cuando el eje de la par´bola coincide con el a a eje y (par´bola vertical). a La situaci´n se complica a´n m´s pues debemos tomar en cuenta tambi´n que para o u a e los dos casos tenemos dosopciones: de la horizontal: que abra a la derecho o izquierda; de la vertical: que abra hacia arriba o hacia abajo. 1.1.1. Eje focal en el eje x

En este caso la par´bola es horizontal y la ecuaci´n es: a o y 2 = 4px 2 (1)

Par´bola a

Con v´rtice en el origen e

Directriz

Lado recto

p

p’ o

Foco

Eje de la parábola

V

Figura 1: Elementos de una par´bola a

Y sus...