Parabola

Parábola : Ahora, vamos a deducir las ecuaciones de las secciones cónicas a partir de su definición como lugares geométricos y no como la intersección de un cono con un plano, como se hizo en laantigüedad. Ya conocemos que la gráfica de una función cuadrática con , es una parábola. Sin embargo, no toda parábola es la gráfica de una función, como podemos concluir de la siguiente definición.Definición
Una parábola es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco de la parábola) y de una recta fija (llamada la directriz de la parábola) queno contiene a (figura 1).


Figura 1.
El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola.Se puedeobservar en la figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje.
Programa Interactivo
En este programa, puede arrastrar los puntos rojos con el mouse. La directriz es la línea azul y el focoes el punto con la etiqueta "F"
Teorema (ecuación canónica de la parábola)
La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice y directriz es


El eje de la parábolaes vertical y el foco está a unidades (orientadas) del vértice. Si , la parábola abre hacia arriba y el foco está en ; si , la parábola abre hacia abajo y el foco está en .
Si la directriz es(eje horizontal), la ecuación es

El eje de la parábola es horizontal y el foco está a unidades (orientadas) del vértice. Si , la parábola abre hacia la derecha y el foco está en ; si ,la parábola abre hacia la izquierda y el foco está en .
Observación : la demostración de este teorema no es difícil, basta aplicar la definición y la fórmula de distancia (figura 1).Para el caso enel cual el eje de la parábola es vertical, tenemos que


Ejemplo 1.
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es...