parabola

Parábola
En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.nota 1 nota 2 Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de unarecta llamada directriz,nota 3 y un punto exterior a ella llamadofoco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo,son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de lagravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).
Ecuaciones de la parábola

Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje delas ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fueposible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,1 y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QVcorresponde alvalor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
.
Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.Pero el valor de  es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo

Arroja la expresión moderna y=ax².
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,
Agrupando los términos yreordenando se obtiene una forma equivalente:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma.
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:
La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma.
Ecuación de una parábola con centro en el origen y una con centro fuera del origen
Toma comoreferencia la ecuación "común" de la parábola que conoces: y = x^2; ésta parábola tiene centro en el origen y abre sobre el eje Y. 
Ahora, consideremos que la parábola tiene vértice en V (h,k), lado recto 4p, entonces obtenemos las siguientes ecuaciones: 

1. Parábola que abre sobre el eje Y positivo 
(x - h)^2 = 4p (y - k) .....Con vértice fuera del origen 
x^2 = 4py...................con vérticeen el origen 

2. Parábola que abre sobre el eje Y negativo 
(x - h) ^2 = - 4p (y - k).....con vértice fuera del origen 
x^2 = - 4py...................con vértice en el origen 

3. Parábola que abre sobre el eje X positivo 
(y - k) ^2 = 4p (x - h).....con vértice fuera del origen 
y^2 = 4px...................con vértice en el origen 

4. Parábola que abre sobre el eje X negativo 
(y -...