Parabola

Parábola
Definición
Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define
como el conjunto de puntos P(x, y) tal que su distanciaal
punto F es igual a su distancia a la recta l . Es decir:
Parábola ={P(x, y) / d(P, F) = d( p,l)}
Al punto F se le denomina foco dela parábola y a la recta l se le
denomina directriz de la parábola.

Ecuación canónica
Supongamos que F tiene coordenadas (0, p) yla recta l tiene
ecuación y = − p con p > 0. Observe la gráfica:

Observe que d(P,F) = (x-0)2+(y-p)2 y que d(P,l) = y + p .Igualando distancias y resolviendo:
d(P,F)=d(P,L)
x-02+y-p2=y+p
(x-02+y-p2)2=(y+p)2
x2+y2-2yp+p2=y2+2yp+p2
x2=4py
Al punto V sele denomina vértice de la parábola, en este caso tiene
coordenadas (0,0). A la recta perpendicular a la directriz, que contiene alvértice y al foco, se le denomina Eje Focal. Observe que para la parábola
anterior el eje focal es el eje y .
Observe además que laparábola es cóncava hacia arriba.
Al segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco y
que tiene como extremos los dospuntos de la parábola, se denomina lado
recto y tiene una medida de 4 p . ¡Demuéstrele!
Suponga ahora que el vértice no es el origen, quetenemos V (h, k) ,
entonces su ecuación sería:
(x − h)2 = 4 p( y − k)



Para otros casos, tenemos:
(x − h)2 = −4 p( y − k)