Parabola

RECORDAR
Pendiente cero : Recta horizontal
Pendiente indefinida : Recta perpendicular
Pendiente positiva : Recta que sube de izquierda a derecha
Pendiente negativa : Recta de desciende de izquierda a derecha
Rectas paralelas : Pendientes iguales (m1=m2)
Rectas perpendiculares : Producto de pendientes: -1 (m1*m2=-1)

LA PARÁBOLA
Definición: “Es el lugar geométrico de un punto que semueve en el plano de tal manera que su distancia perpendicular a una recta fija (llamada directriz), situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano (llamado foco) y que no pertenece a la recta”

Distancia focal : Es la distancia del foco al vértice de la parábola. (FV=p)
La distancia focal es igual a la distancia del vértice a la directriz.
FV = VW
Lado recto deuna parábola : Es el segmento de recta que pasa por el foco y es paralela a la directriz (DE). La longitud del Lado Recto es 4 veces la distancia focal, DE = 4 FV = 4p

Ecuaciones de la Parábola con vértice en el origen

Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje horizontal:
y2 = 4px
si p > 0 la parábola se abre a la derecha
si p < 0 la parábola se abre a la izquierdaF(p,0)
V(0,0)
Ecuación Directriz: x=-p
Longitud Lado Recto: 4p
Eje: Eje x

Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje vertical:
x2 = 4py
si p > 0 la parábola se abre hacia arriba
si p < 0 la parábola se abre hacia abajo
F(0,p)
V(0,0)
Ecuación Directriz: y=-p
Longitud Lado Recto: 4p
Eje: Eje y

Ecuaciones de la Parábola con vértice fuera del origen

Ecuación de unaparábola con vértice en (h, k), foco en (h+p, k) y eje horizontal:

si p > 0 la parábola se abre a la derecha
si p < 0 la parábola se abre a la izquierda

Ecuación de una parábola con vértice en (h, k), foco en (h, k+p) y eje vertical:

si p > 0 la parábola se abre hacia arriba
si p < 0 la parábola se abre hacia abajo

Ecuación General de una parábola con vértice en (h, k),foco en (h, k+p) y eje vertical:

Se desarrolla la ecuación

Despejamos “y”, agrupamos los términos independientes y obtenemos una ecuación de la forma:

Su vértice está en:

Su foco está en:

Su directriz está dada por:

Y su eje está dado por:

Siendo a = 1/(4p) b = -h/(2p) c = (h2-4pk)/(4p)
Ejercicio:
A partir de la Ecuación de una parábola con vértice en (h, k), foco en (h+p,k) y eje horizontal, determine la ecuación general de la parábola indicando el vértice, foco, directriz, eje y las expresiones para los coeficientes de la ecuación y de su término independiente.

1) Hallar el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola 3x2=8y:
Sol.
Por la forma de la ecuación vemos que es una parábola vertical cuyo eje es el eje-yHallamos “p”: x2 = (8/3)y = 4py = 4(2/3)y
p = 2/3

El foco está dado por: f(0,p)
F(0, 2/3)
Y su directriz por
y=-p
y = -2/3
Lado recto
LR = 4p
LR = 4(2/3)
LR = 8/3
Por lo tanto
f(0, 2/3)
Directriz: y= -2/3
Lado recto: LR = 8/3

2) Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es F(0, -4/3) y tiene por directriz la recta y=4/3.
Hallar la longitud del lado recto.
Sol.
Se observaque el foco está sobre el eje “y” negativo, por lo tanto se trata de una parábola que se abre hacia abajo.
La ecuación es
x2 = 4py
F(0,p) = (0, -4/3)
Reemplazando
x2 = 4py = 4(-4/3)y
p = 4/3
x2 = (-16/3)y
LR = 4p = 16/3

3) Hallar la ecuación de la parábola que tiene V(3, 2) y F(5, 2)
Sol.
Se trata de una parábola fuera del origen y según se observa es una parábola horizontal pues lasordenadas son iguales:

V(3, 2) y F(5, 2)

Sabemos que las coordenadas del vértice son

V(h, k) = V(3, 2)

por lo tanto su ecuación será:

Siendo (h, k)=(3, 2) el vértice de la parábola, la ecuación quedará

(y - k)2 = 4p(x – h)
(y - 2)2 = 4p(x – 3)

“p” es la distancia entre el foco y el vértice que se obtiene restando, en este caso, las abscisas:
p = 5-3 = 2

por lo tanto la...