PARABOLA

PARABOLA.-En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica de excentricidad igual a 1,1 resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por sugeneratriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.2 nota 1 nota 2 Se define también como el lugar geométrico de los puntos deun plano que equidistan de una recta llamada  HYPERLINK "https://es.wikipedia.org/wiki/Directriz" \o "Directriz" directriz,nota 3 y un punto exterior a ella llamado foco. Engeometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadasdebido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).
3.-ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (h, k)
Consideramos ahora una parábola cuyo eje es paralelo a, pero no en coincidencia con uneje coordenado. En la Fig. C, el vértice está en (h, k) y el foco está en (h+a, k). Introducimos otro par de ejes por una traslación hasta el punto ( h, k). Puesto que la distancia del vértice al foco es a, tenemos de inmediato la ecuación
y'2 = 4ax'
Para escribir la ecuación de la parábola respecto a los ejes originales, aplicamos las fórmulas de traslación, y obtenemos así
( y -k)2 = 4a (x-h)En esta ecuación observamos, y también en la figura, que cuando a > 0, el factor x -h del segundo miembro debe ser mayor que o igual a cero. Por eso, la parábola abre hacía la derecha. Para a < 0, el factor x -h debe ser menor o igual a cero, y por eso la parábola abriría hacia la izquierda. El eje de la parábola está sobre la recta y -k = 0. La longitud del latus rectum es igual al valorabsoluto de 4a, y entonces fácilmente se pueden localizar los puntos extremos. Figura E
Se puede hacer una discusión semejante si el eje de una parábola es paralelo al eje y. Consecuentemente, establecemos la siguiente.
La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h +a,k) es
(y - k)2 = 4ª (x - h)
La parábola abre hacia la derecha si a > 0 y abre hacia la izquierda si a <0.
La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h, k + a) es
(x - h)2 = 4ª (y - k)
La parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a <0.
Cada una de las Ecuaciones (2.1) y (2.2) está en la forma estándar. Cuando h = 0 y k = 0, se reducen a las ecuaciones más sencillas de la sección precedente. Si la ecuación de una parábola está en la forma estándar,rápidamente se puede trazar su gráfica. El vértice y los extremos del latus rectum son suficientes para un trazo burdo. Marcar unos cuantos puntos adicionales ayudaría, por supuesto, a mejorar la precisión.
Notamos Que cada una de las Ecuaciones (2.1) y (2.2) es cuadrática en una variable y lineal en la otra variable. Este hecho se puede expresar más vívidamente si efectuamos la elevación al cuadrado ytrasponemos los términos para obtener las formas generales
x2 + Dx +Ey +F = 0
y2 + Dx +Ey +F = 0
Inversamente, una ecuación de la forma (2.3) o (2.4) se puede presentar en una forma estándar, siempre y cuando E ¹ 0 en (2.3) y D ¹ 0 en (2.4).
2.3.1 EJEMPLOS
EJEMPLO 1. Trazar la gráfica de la ecuación
y2 + 8x - 6y + 25 = 0
Solución. La ecuación representa una parábola porque y está elevada alcuadrado y x a la primera potencia. La gráfica se puede trazar más rápidamente si primero reducimos la ecuación a una forma estándar. Así,
y2 - 6y + 9 = -8x - 25 + 9
(y - 3)2 = -8 ( x + 2)Figura F
El vértice está en (-2, 3) puesto que 4ª=-8 y a= -2, el foco está a dos unidades a la izquierda del vértice. La longitud del latus rectum, igual al valor absoluto de 4ª, es 8. Por eso el latus rectum...