Paraboliode hiperbolico

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[pic]

Trabajo de Investigación:

“Paraboloide Hiperbólico”

Índice

Introducción

Superficies cuadráticas

Definición  (superficies cuadráticas)

Observación

Desarrollo

Ecuación del paraboloide hiperbólico

Aplicaciones
Geometría Y Arquitectura Antes Del Ordenador

Bibliografía

Introducción

Antes de empezar a ver el tema de nuestrointerés, tenemos que tomar en cuenta algunos puntos que son importantes, pues de ahí partiremos para poder dar una mejor explicación, y entender mejor el tema.

Superficies cuadráticas
Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.
Definición  (superficies cuadráticas)

La gráfica de una ecuación desegundo grado en tres variables
[pic]
se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.

Observación:
en la ecuación de segundo grado
[pic]
deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos[pic], [pic]y [pic], pues la presencia de estos genera superficies con rotación.
Paraboloide hiperbólico
La gráfica de la ecuación:

[pic]

es un paraboloide hiperbólico. Sustrazas sobre planos horizontales[pic] son hipérbolas o dos rectas  ([pic]). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano [pic]son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano [pic]son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la siguiente figura.
[pic]

Llamamos paraboloidehiperbólico a la superficie que en un sistema rectangular de coordenadas se determina por la ecuación:
[pic]

Esta figura se conoce con el nombre de silla de montar.

Cuando la ecuación anterior toma la forma :

[pic]
[pic]

la figura queda invertida.

Desarrollo

El paraboloide hiperbólico es una de las superficies regladas utilizadas con más frecuencia por Gaudí. En el fondo, no esuna figura tan extraordinaria, ya que muy a menudo, al contemplar construcciones habituales con ojos de geómetra, la podemos ver cuando se quieren hacer casar cosas mal niveladas (cubiertas, pavimentos...), ya que el paraboloide hiperbólico es simplemente un plano alabeado. También se denomina silla de montar o paso de montaña, ya que en una dirección tiene las secciones en forma de parábola conlos lados hacia arriba y, en cambio, en la sección perpendicular, las secciones son en forma de parábola con los lados hacia abajo.

Las secciones según planos perpendiculares a los dos anteriores (según la tercera dimensión del espacio) son en forma de hipérbola. Si están por debajo del punto de de silla, el centro de la figura, los lados de la hipérbola dan forma de valles. Si están por encimade este punto, las secciones de la hipérbola dan forma a los picos que flanquean el paso.

Si se hace una sección justo por el centro de la figura, el punto de silla, resultarán dos rectas que se cortan en el paso y que son precisamente las asíntotas de las dos hipérbolas anteriores, las de encima y las de debajo.

De hecho, cualquier plano tangente en cualquier punto de la superficie nos darácomo sección un par de rectas de este tipo, ya que el paraboloide hiperbólico es una superficie reglada y por todos sus puntos pasan dos rectas, una de cada familia de las rectas generadoras.

Para ver que se trata de una superficie reglada, la mejor manera de generar el paraboloide hiperbólico es a partir de un cuadrilátero alabeado, es decir, de un cuadrilátero que no tenga los cuatro ladossobre un mismo plano. A partir de este cuadrilátero, si se hacen divisiones en partes en dos lados opuestos, al trazar rectas que unan ordenadamente estas divisiones obtendremos la superficie del paraboloide, y todas estas rectas formarán la primera familia de generatrices; siempre se podrá encontrar un punto de vista de modo que estas rectas se vean paralelas. Haciendo lo mismo con los otros dos...
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