Parcial Calculo 1

Universidad Industrial de Santander

Cuarto examen ´ Calculo I Agosto 27 de 2010

Grupo

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

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´ Codigo:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justi caciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.´ ´ ´ El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados. Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

´ ´ 1. Un avion que vuela con una rapidez constante de 300 km/h pasa sobre una estacion terrestre ´ de radar a una altitud de 1 km y se eleva con un angulo de 30◦ : ´ ´ ´ a) (35 %)Halle la expresion que permite calcular la distancia entre el avion y la estacion. ´ ´ ´ ´ b) (65 %) Determine en que proporcion se incrementa la distancia del avion a la estacion de ´ radar un minuto mas tarde. ´ ´ 2. Trace la gra ca de la funcion que cumple las condiciones: f es impar, f ′ (x) < 0 para 0 < x < 2, f ′ (x) > 0 para x > 2, f ′′ (x) > 0 para 0 < x < 3, f ′′ (x) < 0 para x > 3, l´ f(x) = −2. ım
x→∞

´ ´ ´ 3. Encuentre las dimensiones del rectangulo de area mas grande que tenga su base sobre el eje ´ ´ x y sus otros dos vertices arriba del eje x sobre la parabola y = 8 − x2 . ´ ´ 4. Determine si la proposicion es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por que. Si es falsa, ´ ´ ´ explique por que o de un ejemplo que refute la proposicion. ´ a) La aproximacion lineal dela curva y = b) c) d) e) 1 1 − x en a = 0 es y = 1 − x. 3 ´ Si una funcion f tiene un m´nimo absoluto en c entonces f ′ (c) = 0. ı ´ Si una funcion y = f (x) es par, entonces y ′ = f ′ (x) es par. Si f ′ (x) = g ′ (x) para 0 < x < 1, entonces f (x) = g(x) para 0 < x < 1. ´ Existe una funcion f tal que f (x) > 0, f ′ (x) < 0 y f ′′ (x) > 0 para todo x. √

˜ Profesores: Adriana Albarrac´n, AlbertoHiguera, Claudia Montanez, Daniel Moreno, Duwamg Prada, German Jaimes, Gilberto Arenas, ı ´ Hilda Duarte, Javier Camargo, Jorge Fiallo, Jorge Noriega, Luis Ortiz, Marco T. Mart´nez, Nelson Lopez, Rosana Mart´nez, Rosario Iglesias, William ı ı ´ Gonzalez.

´ Solucion del cuarto examen ´ avion 1. t: tiempo (en horas), ´ ´ r (t): distancia entre el avion y la estacion del radar ´ (en kilometros),´ ´ x (t): distancia recorrida por el avion despues de ´ ´ cambiar el angulo de elevacion, dx dt = 300 km/h, ´ ´ θ = 90◦ + 30◦ = 120◦ : angulo de elevacion. De la gura se observa que se puede aplicar la ley de los cosenos r 2 = a2 + b2 − 2ab cos θ r 2 = x2 + 12 − 2 (x) (1) cos 120 b = 1 km
(t)

x a=

θ = 30◦ r(t)

radar r 2 = x2 + 1 − 2x (−1/2) ´ ´ ´ ´ Por tanto una expresion que relacionala distancia recorrida por el avion despues de cambiar el angulo ´ ´ ´ de elevacion y la distancia entre el avion y la estacion del radar es r 2 = x2 + x + 1. ´ Dado que x (t) = V · t, entonces x (t) = 300t de donde la expresion anterior se transforma en [r (t)]2 = 90000t2 + 300t + 1. (∗∗) (∗)

1 Ahora, si t = 1min = 60 h, se puede encontrar el valor de r de dos formas, una forma encontrando el1 1 ´ valor de x 60 = 300 60 = 5 km y reemplazando en la ecuacion (∗)

r

1 60

2

= 52 + 5 + 1 = 31 =⇒ r =

√

31 km,

´ otra forma es reemplazar directamente en la ecuacion (∗∗) el valor de t r
1 60 2

= 90000

1 60

2

+ 300

√ 1 + 1 = 31 =⇒ r = 31 km, 60

´ Ahora, derivando impl´citamente la ecuacion (∗) se tiene que ı 2r dr dx = (2x + 1) dt dt

reemplazando losdatos dados y los obtenidos se tiene √ dr dr 3300 1650 2 31 = (2 ∗ 5 + 1) 300 =⇒ = √ = √ ≃ 296. 35 km/h. dt dt 2 31 31 2. f es impar implica que f (−x) = −f (x), esto adicionalmente implica que f (0) = 0;

´ f ′ (x) < 0 para 0 < x < 2 implica que f (x) es decreciente en 0 < x < 2 y como es impar tambien es decreciente en el intervalo −2 < x < 0; ´ f ′ (x) > 0 para x > 2 implica que f (x) es...