Pares equivalentes

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3.13. Pares equivalentes
La fig. 3.34 muestra tres pares que actúan de manera sucesiva sobre la misma caja rectangular. Como se vio en la sección anterior, el único movimiento que un par le puede impartir a un cuerpo rígido es una rotación. Como cada una de los tres pares mostrados tiene el mismo momento M (la misma dirección y la misma magnitud M= 120lb · in) se puede esperar que los tres parestengan el mismo efecto sobre la caja.
Por más razonable que parezca esta conclusión, no debe aceptarse de inmediato. Aunque la intuición es de gran ayuda en el estudio de la mecánica, no debe ser aceptada como un sustituto del razonamiento lógico. Antes de establecer que dos sistemas(o grupos) de fuerzas tienen el mismo efecto sobre un cuerpo rígido, esto se debe demostrarse con base en laevidencia experimental que se ha presentado hasta este momento. Esta evidencia consiste en la ley del paralelogramo para la suma de dos fuerzas (sección 2.2) y en el principio de transmisibilidad (sección 3.3). Por tanto, se establecerá que dos sistemas de fuerzas equivalentes (esto es, que dichos sistemas tienen el mismo efecto sobre un cuerpo rígido) sí pueden transformar uno de ellos en el otropor medio de una o varios de las siguientes operaciones: 1.reemplazar dos fuerzas que actúan sobre la misma partícula por su resultante, 2. Descomponer a una fuerza en dos componentes, 3. Cancelar dos fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la misma partícula, 4.unir a la misma partícula dos fuerzas iguales y opuestas y 5. Mover una fuerza a lo largo de su línea de acción. Cada una de estasoperaciones se justifica fácilmente con base en la ley del paralelogramo o en el principio de transmisibilidad.
Ahora se procede a demostrar que dos pares que tienen el mismo momento M son equivalentes. Primero se consideran dos pares contenidos en el mismo plano y se supone que dicho plano coincide con el plano de la figura (figura 3.35). El primer par está constituido por la fuerzas F₁ y - F₁ demagnitud F₁, las cuales están localizadas a una distancia d₁ entre sí (figura 3.35a), y el segundo par está constituido por las fuerzas F₂ y - F₂ de magnitud F₂, localizadas a una distancia d₂ entre sí (figura 3.35d). Como los dos pares tienen el mismo momento M, que es perpendicular al plano de la figura, ambos pares deben tener el mismo sentido (el cual se ha puesto contrario al movimiento de lasmanecillas del reloj) y la relación:
F₁ d₁ = F₂ d₂ (3.49)
debe ser satisfecha. Para comprobar que los dos pares son equivalentes se debe demostrar que el primer par puede ser transformado en el segundo por medio de las operaciones enumeradas con anterioridad.

Al representar con A, B, C y D los puntos de intersección de las líneas deacción de los dos pares, se deslizan primero las fuerzas F₁ y - F₁ hasta que estén unidas, respectivamente, a A y B, como se muestra en la figura 3.35b. Entonces, la fuerza F₁ se descompone en una componente P a lo largo de la línea AB y una componente Q a lo largo de AC (figura 3.35c); similarmente, la fuerza - F₁ se descompone en –P a lo largo de AB y en –Q a lo largo de BD. Las fuerzas P y –Ptienen la misma magnitud, la misma línea de acción común hasta aparecer aplicadas en el mismo punto para que, entonces, puedan ser canceladas. Por lo tanto, el par formado por F₁ y - F₁ se reduce al par constituido por Q y –Q.
A continuación se comprueba que las fuerzas Q y –Q son iguales, a las fuerzas F₂ y - F₂. El momento del par formado por Q y –Q puede obtenerse calculando el momento de Q conrespecto a B; en forma similar, el momento del par formado por F₁ y - F₁ es el momento de F₁ con respecto a B. Pero, por el teorema de Varignon, el momento de F₁ es igual a la suma de los momentos de sus componentes P y Q. Como el momento de P con respecto a B es igual a cero, el momento del par formado por Q y –Q debe ser igual al momento del par formado por F₁ y - F₁. Recordando (3.49), se...
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