Patrones De Números Complejos

PATRONES DE NÚMEROS COMPLEJOS


A lo largo de este trabajo el objetivo consistirá en obtener la relación entre el resultado de la raíz enésima de un número complejo y el radical de la raíz correspondiente.

Para ello, en primer lugar hemos utilizado el Teorema de Moivre para obtener las soluciones de una de las ecuaciones posibles, concretamente, las de la raiz enésima de uno. Comoprimer paso, hemos utilizado n = 3:


z 3 - 1= 0

Entonces, hemos realizado los siguientes pasos:

• z 3 -1= 0 → z3 = 1 → [pic] → [pic]

•[pic]

Forma binómica F.polar Forma trigonométrica

• [pic] [pic] → [pic]

• T.Moivre: [pic] → [pic]

• [pic]

- Parte real: [pic]
- Parte imaginaria: [pic]

[pic] [pic] →[pic] [pic] [pic]

Una vez obtenidos los argumentos, continuamos resolviendo la ecuación inicial:

• [pic]= A) [pic]= [pic]= 1
B) [pic]= [pic]
C) [pic]= [pic]







Después de haber hallado estas raíces anteriores, las hemos representado en el diagrama de Argand para verlas gráficamente:


[pic]


Como se puede apreciar,estas raíces, los vértices, se encuentran a la misma distancia del origen, a 1 unidad, esto es, el módulo “[pic]” de cada solución es el mismo. De hecho, por eso se ha podido inscribir la figura en una circunferencia unitaria. Con este dato y en conocimiento de los ángulos hallados anteriormente, hemos calculado la longitud de los lados de la figura formada:

-T.coseno: [pic] Por tanto:

•ACD: [pic]

• BCD: [pic]

• ABD: [pic]


Por otra parte, se puede observar también que la diferencia entre los argumentos de las raíces obtenidas es 120 grados, es decir, que además de estar a la misma distancia del origen, las soluciones están a la misma distancia entre sí:
• [pic].
• [pic].

Es por esto que deducimos que se trata de un polígono regular, en este caso untriángulo equilátero, que se puede inscribir en una circunferencia de radio unitario.
Al mismo tiempo, se ha dado la peculiaridad de que el número de soluciones de la raíz se ha correspondido con su radical. Puede que esta característica ocurra siempre.





Para dar fe de ello, realizamos las mismas operaciones, utilizando siempre la Fórmula de Moivre, pero cambiando el radical de la ecuaciónprincipal. En vez de ser 3, ahora analizaremos los resultados con 4 y 5:


z 4 -1= 0


• z4 = 1 → z4 = 1+0i → [pic] → z = [pic] → z = [pic]
• [pic]

• T. Moivre: [pic]

• [pic] [pic] → [pic][pic] [pic]

• [pic]= A) [pic]= [pic] = 1
B) [pic]= [pic] = i
C) [pic]= [pic]= -1
D) [pic]= [pic] = -i

He aquí el gráfico en el que se han representado las raíces anteriores:
























[pic]



En esta ocasión, al aumentar en una unidad el radical, las soluciones también han pasado a ser 4 en vez de 3, es decir, el radical de la raíz, vuelve a coincidir con el número de soluciones.

Al igual que antes, dado que el radicando sigue siendo el númerocomplejo
1 = 1+ 0i =[pic], la distancia de los vértices (las soluciones) al origen sigue siendo 1, y la figura puede ser inscrita en el círculo unitario de nuevo.

Hemos empleado el Teorema del coseno en esta figura también, para calcular las longitudes de los lados:

- T.coseno: [pic] Por tanto, en los triángulos:

• ABE: [pic]

• BCE: [pic]

• CDE: [pic]

• DAE: [pic]La diferencia de los argumentos de las raíces ahora es 90 grados, por lo que estas están a la misma distancia (√2) unas de otras de nuevo, formando un polígono regular, en concreto, un cuadrado.

Por último, también hemos observado que a medida que incrementa el número de lados, o sea, el número de soluciones, disminuye la longitud de estos.




Las conclusiones obtenidas son válidas...