Pauta Certamen1 2014 1

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática

Matemática II (MAT022)
1er Semestre de 2014. Pauta Certamen 1,
Nombre:

Jueves 15 de Mayo de 2014.
. ROL:

. Paralelo:

.Instrucciones
1. Revise que todos sus datos (nombre, ROL y paralelo) están debidamente escritos.
2. Todas las respuestas deben ser fundamentadas.
3. No se permiten hojas adicionales. Para cálculos yfundamentaciones use el espacio dejado para ello o la
parte de atrás de las hojas, indicando a qué ejercicio corresponde el desarrollo.
4. No se permiten calculadoras, celulares u otro tipo de elementotecnológico
5. Dispone de 90 minutos para desarrollar el certamen.

1. (a) (15 puntos) Sean a = (1, α, 2), b = (2, 1, −1) y c = (1, 1, α).
del paralelepípedo determinado por a, b y c sea 15 cm3 .

Determineα ∈ R de modo que el volumen

Solución
Se tiene que:


1
V = c · (a × b) = det  2
1

α
1
1


2
−1  = | − 2α2 + 3|.
α

Como el volumen del paralelepípedo es 15, se tiene:
| − 2α2 + 3| = 15 ⇔ α = 3 ∨α = −3.
(b) (10 puntos) Sean x = (1, −1, 2), y = (2, α, 1) y z = (1, 2, −1). Hallar α tal que
Solución
−
−
−
−
Como, (→
x,→
y ) = (→
y ,→
z ) Entonces:

MAT022 Certamen 1

⇒

→
−
−
x ·→
y
→
−
−
x ·→
y

=

→
−
−
y ·→
z
→
−
−
y · →
z

⇔

2−α+2
√
6

=

2 + 2α − 1
√
6

⇔

α

=

1

−
−
−
−
(→
x,→
y ) = (→
y ,→
z ).

1

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Departamento de Matemática

2. (a) (15puntos) Encuentre
ln(x + 1) dx
.
x2
Obs:

1
1
−1
= +
x(x + 1)
x x+1

Solución
Haciendo integración por partes con:
u = ln(x + 1) dv = x12
.
1
du = x+1
v = − x1
Se tiene:
ln(x + 1) dx
x2

=

1
− ln |x +1| +
x

=

1
− ln(x + 1) +
x

=

1
− ln |x + 1| + ln x − ln |x + 1| + C
x

dx
x(x + 1)
1
1
−
x x+1

(b) (10 puntos) Sea f : [0, +∞[ → [0, +∞[ una función biyectiva y derivable en ]0, +∞[. Muestre quela
x

función g(x) definida por g(x) =

f (x)

f −1 (t) dt satisface que g (x) = f (x) + xf (x).

f (t) dt +
0

0

Muestre además que g(x) = xf (x).
Solución
x

Sea g(x) =

f (x)

f −1 (t) dt.

f...