Pauta Control 3 Modelos Estocásticos UDP-2014-1

CII2753 Modelos Estoc´sticos
a
Profesora: Macarena Donoso
Ayudante: Felipe Venegas
15/MAYO/2014
Puntaje M´ximo: 140 pts
a

Control #3:

1. Control de acceso en PUB de la ciudad:
Hombres y mujeres llegan a un pub capitalino de acuerdo a procesos de Poisson independientes. Las
mujeres llegan de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa λM = 3 [mujeres/minuto], mientras que los
hombreslo hacen a tasa λH = 4 [hombres/minuto]. El local cuenta con un equipo de guardias, quienes se
encargan de registrar el ingreso de las personas.
a) Si en un momento aleatorio, uno de los guardias va a tomar caf´ y el tiempo que tarda en tom´rselo
e
e
est´ exponencialmente distribuido con media 0,5 minutos. ¿Cu´l es la probabilidad de que llegue una
a
a
mujer antes de que acabe de tomarse elcaf´?¿Y de que lleguen dos mujeres? [10 pts]
e
b) Bajo los mismos supuestos del inciso anterior, calcule la distribuci´n de probabilidad del n´mero
o
u
TOTAL DE PERSONAS a registrar que se acumulan mientras el guardia toma caf´ (cantidad total
e
de personas que llegan al PUB en ese tiempo).[20 pts]
c) Si un segundo guardia se dirige a tomar caf´ cuando el primero lleva ya un minutotom´ndolo.
e
a
¿Cu´l es la probabilidad de que el segundo empleado acabe el caf´ antes que el primero? Elabore su
a
e
respuesta, suponiendo que el tiempo que tarde el segundo empleado en tomarse el caf´ est´ tambi´n
e
a
e
exponencialmente distribuido con media 0.5 minutos.[20 pts]
d ) Si se sabe que, durante los primeros 15 minutos de operaci´n, han llegado 30 personas en TOTAL,
o
¿Cu´l esla probabilidad que, en los primeros dos minutos de operaci´n hayan llegado 10 mujeres y
a
o
ning´n hombre? [20 pts]
u
e) Calcule la distribuci´n del n´mero de PAREJAS que se forman en el intervalo [0,t]. [20 pts]
o
u
f ) Si se sabe que cada hombre que llega al lugar, es fumador con probabilidad p = 1/4, entonces:
1) ¿Con qu´ probabilidad entre el primer y el tercer minuto habr´n llegado alo m´s 5 hombres
e
a
a
fumadores? [10 pts]
2) Calcule la esperanza del tiempo hasta que llegue el octavo hombre no fumador. [10 pts]
3) Si entre el paso del d´cimo y und´cimo hombre NO fumador han transcurrido 25 minutos.
e
e
¿Cu´nto tiempo se espera que transcurra entre la llegada de los hombres NO fumadores 18 y
a
19? [10 pts]
4) Sabiendo que han llegado al PUB 8 hombres NOfumadores entre el minuto 2 y 3. ¿Con qu´ proe
babilidad van a llegar 9 hombres fumadores entre esos mismos minutos? [10 pts]
5) ¿Cu´l es la probabilidad de que el tiempo que transcurre entre el primer y segundo hombre
a
fumador sea mayor que el que transcurre entre el tercer y cuarto hombre fumador? [10 pts]

1

Desarrollo:
1. Sea:
N : Cantidad de Personas que llegan al PUB.
NH : Cantidad deHombres que llegan al PUB.
NM : Cantidad de Mujeres que llegan al PUB.
Ti : Tiempo que se demora en llegar la persona i al PUB.
j
TG :Tiempo que se demora en tomar un caf´ el guardia j.
e
a)
e−λM t (λM t)n
· µe−µt dt
n!
0
t −(λM +µ)t n
e
t
dt
= (λM )n µ
n!
0
t −(λM +µ)t n
(λM )n µ
e
t (λM + µ)n+1
=
dt
(λM + µ)n+1 0
n!
n
µ
λM
=
λM + µ
λM + µ
t

P(NM (t) = n|T = t)· P(T = t)dt =

Por lo tanto el n es la cantidad de mujeres que tienen que llegar antes del guardia, para i) n=1 y
para ii) n=2.
1

λM
λM + µ
λM
λM + µ

2

µ
λM + µ
µ
λM + µ

=

=

3
3+2
3
3+2

·

2
3+2

= 0,24

(1)

·

2
3+2

= 0,144

(2)

2

b)
n
1
1
Ti < TG ; Tn+1 > TG

P(N = n) = P
i=1
1
1
P(Ti < TG )n · P(TG < Tn+1 ) =

λM + λH
λM +λH + µ

n

λM

µ
+ λH + µ

c)
µ2
µ 1 + µ2

= 0,5

Vemos que la justificaci´n es la perdida de memoria que tiene la distribuci´n exponencial, ya que no
o
o
hacemos distinci´n entre el primer instante en que fue a tomar caf´ el guardia y en el que nosotros
o
e
queremos empezar a contar el experimento.
d)
P(NM (2) = 10|N (15) = 30) = P(NM (2) = 10 ∧ NH (2) = 0|N (15) = 30)...