Pautacontrol4T

DEP. DE MATEMATICA Y C.C. .

U. DE SANTIAGO DE CHILE

PAUTA CONTROL 4T

ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA
Primer Semestre 2013
Pregunta 1
Resuelva el Problema de valor inicial
y 00 + y =g(t); y(0) = 0; y 0 (0 = 1
donde g(t) =
Solución.-

0;
1;

si t < 3
si t > 3

Tenemos que
g(t) = u(t

3)

luego la ecuacion queda
y 00 + y = u(t

3); y(0) = 0;

y 0 (0) = 1

Tomando al transformada deLaplace en ambos lados de la ecuacion produce
s2 Y (s)

s(0)

1 + y(s) =

e

3s

s

(s2 + 1)Y (s)
Y (s) =

=) (s2 + 1)Y (s)
1=

e

1=

e

3s

s

3s

s

+1

e 3s
1
+ 2
2
s(s + 1) (s + 1)................................................................................................................1.0
Para encontrar la transformada de inversa debemos utilizar fracciones parciales para elprimer termino de lado derecho.
1
A (Bs + C)
= +
s(s2 + 1)
s
(s2 + 1)
Despues de obtener el denominador común e igualando los numeradores
queda:
1 = A(s2 + 1) + (Bs + C)s
Escogiendo valores apropiadospara s, da:
s = 0
: 1=A
s = 1
: 1 = 2A + B + C = 2 + B + C
s =
1 : 1 = 2A + B C ) C = 0; B =
1

1

Por consiguiente,
1
1
s
=
s(s2 + 1)
s (s2 + 1)
De este modo obtenemos para el primer término
e 3s
e3s
se 3s
=
s(s2 + 1)
s
(s2 + 1)
Por tanto, al sumar los terminos, la solucion del PVI está dada por
L

1

[Y (s)] = L

1

e

3s

s

se 3s
+L
(s2 + 1)

1

L

1

(s2

1
+ 1)................................................................................................................1.0
y(t) = u(t
y(t) = [1

3)

u(t

cos(t

3) cos(t
3)] u(t

3) + sin t
3) + sin t................................................................................................................1.0
Pregunta 2
a) Demuestre que
2as
(s2 + a2 )
b) Resuelva la ecuacion con los valores iniciales usando laTransformada de
Laplace:
L(t sin(at))(s) =

y 00 + 4y = cos 2t;

y(0) = y 0 (0) = 0

Solución.
a)
L(t sin(at))(s) =

L( t sin(at))(s) =

d L(sin(at))(s)
ds

a
d L( s2 +a
2 )(s)

2as
= 2
ds
(s + a2 )2...