Unidad III La Transformada De Laplace

La Transformada de Laplace
Introducción
Well, you know how it goes...
-Introducción largaBueno sé que estamos en toma y la mayoría no querrá estudiar. xD
Pero cuando termine esta cosa tendremos un montón de pruebas, así que mejor estar preparados.
¿No lo creen así?
Ya saben cómo es esto, primero intentaré explicar de forma intuitiva y bonita la definición de
Laplace, la teoría básica, ladefinición de la inversa, las propiedades que usaremos en los ejercicios,
algunos ejemplos por aquí y por allá, y finalmente ejercicios resueltos.
Muchos ejercicios malignos resueltos!
Y ya saben, cualquier error me dicen, cualquier duda me asaltan con preguntas, total esto de no ir
a clases me tiene todo aburrido, así que no tengo problema en responderles cualquier cosa. xD
Pero ya, dejemos de lado lasintroducciones largas…
Empecemos de una vez.
Brian Keith N.

Definiciones Previas
Transformada de Laplace
Pues bien llega un momento en la vida en que uno naturalmente se pregunta qué es una
transformada de Laplace.
Wait, no, eso era otra cosa. xD
Bueno, en general las transformaciones integrales son operaciones lineales que convierten una
función en otra.
Existen muchas transformacionesintegrales, pero nosotros solo queremos ver a una.
La transformada de Laplace, que es la que nos interesa, compara por medio de una integral
impropia que tan rápido crece una función en relación a la exponencial.
La transformada de una función tiene tres diferentes notaciones, quizás más, pero las que he visto
hasta ahora son:
* ( )+
* ( )+( )
( )
A mí me gusta más la primera, es más bonita.
La primera haceénfasis en que estamos transformando una función, mientras que la segunda y la
tercera hacen énfasis en que la transformación depende ahora de una variable s en vez de t.
Entonces…
Respondamos la pregunta inicial.
¿Cómo se define la transformada de Laplace de cierta función?
Pues así:
* ( )+

∫

( )

Una integral impropia!

TIEMBLEN ANTE LA INTEGRAL IMPROPIA!
Recordemos de cálculo II como secalculaban dichas integrales.
Se hacía integrando y tomando límite.
Como hacer ese proceso cada vez es tedioso, y a veces prácticamente imposible, tenemos una
tabla con las transformadas más simples y para las transformadas más complejas existen las
propiedades que más adelante veremos.
El resultado de esa integral depende de la convergencia de esta, si diverge, entonces NO tiene
transformada. D:
Siconverge, entonces el resultado es la transformada, y ese resultado será una nueva función que
depende de s.
Funciones continuas por tramos o seccionalmente continuas.
Recordemos un poco de cálculo I, una función se dice continua por tramos si es que es continua en
todo su dominio excepto quizás en algunos puntos donde tiene una discontinuidad de salto.
Las discontinuidades de salto son esos puntosdonde la función estaba definida por ambos lados,
pero estaba definida diferente.
Ahora podríamos continuar con las siguientes partes de teoría.
Pero antes trabajemos un poco con la definición y lo que acabamos de ver.
Solo una cosa es realmente importante, si nos dan una función definida por tramos.
Debemos CORTAR la función en esos tramos.

Por ejemplo si queremos encontrar la transformada deLaplace de:
( )

{

Nótese el corte en 1, ahí es donde tiene la discontinuidad de salto.
Llamemos a la definición
* ( )+

∫

( )

Y entonces reescribamos separando la integral.
* ( )+

∫

( )

( )

∫

Ahora reemplacemos.
* ( )+

∫

∫

(

)

Hacer la integral es una paja, pero no es nada imposible.
Después veremos una técnica para facilitar esto, pero por ahora es lo que sabemos.
Orden exponencialSuena como una especie de maligna orden religiosa con intenciones de dominar el mundo.
Pero no es eso, es algo muy diferente en realidad, (no sé preocupen maestros de la orden exponencial,
no revelaré sus planes de dominio mundial frente a estos despistados niños que estudian Laplace) , omitan
el paréntesis, eso fue solo producto de su imaginación, no existe ninguna orden exponencial, NO...