Guia1 1erOrden Aplicaciones

Roberto Geraldo

Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones de Primer Orden. Aplicaciones
I.- Existencia y Unicidad de Soluciones.
1. Hallar los dominios de existencia y unicidad de soluciones de la ecuación:
dy
(y − 2)2/3
= √
dx
x2 − 1
2. Dada la ecuación diferencial
xy ′ =

x2 − y 2 + y

a) Determinar el dominio de existencia y unicidad de soluciones.
b) Hallar todas las soluciones.
c) Encontrar lasolución particular que pasa por el punto (eπ , 0) y su respectivo intervalo de
definición.
3. Dada la ecuación diferencial
(x2 − 1)y ′ + xy(1 − y) = 0
a) Determinar el dominio de existencia y unicidad de soluciones.
b) Hallar todas las soluciones.

√
c) Encontrar las soluciónes particulares que pasan por los puntos (1, 1), (1, 2) y ( 2 , 1/2) y
su respectivo intervalo de definición.

II.- VariablesSeparables.
ax + by + c
ex + f y + g
de variables separables. (Libro USACH, página 31)

4. Demuestre que una ecuación de la forma y ′ = F

se puede reducir a una ecuación

Use lo anterior para resolver las ecuaciones:
y−x−1
x+y−1
b) (y + x + 1)dx + (2y + 2x + 1)dy = 0

a) y ′ =

5. Resuelva las ecuaciones diferenciales homogéneas
a) x(x − y)y ′ + y 2 = 0
b) x2 y ′ = y(x + y)
c) y + x cot
d)

x+y
x

y 2 − xy

dx − x dy = 0
dy
= y,
dx

con y(1) = 1

6. Resuelva la ecuación
x + y 3 dx + 3y 5 − 3y 2 x dy = 0
(Ayuda: hacer x = z α , y calcular α para convertirla en homogénea)

7. Resuelva la ecuación
x2 y 2 − 1 dy + 2xy 3 dx = 0
(Ayuda: hacer y = z α , y calcular α para convertirla en homogénea)
III.- Ecuaciones Exactas y Factor Integrante.
8. Resuelva las ecuaciones diferenciales exactas:a) ( sen(x)(1 − y) − 2 cos(x)) dx + cos(x) dy = 0
b) (2x − 1)(y − 1) dx + (x + 2)(x − 3) dy = 0
c) (y 3 − 1)ex dx + 3y 2 (ex + 1) dy = 0

9. Resolver la ecuación diferencial exacta
( 2x + ey ) dx + xey dy = 0
y hallar la solución particular que pasa por el punto (1, 0), con su respectivo intervalo de definición.
10. En los siguientes ejercicios, encuentre un factor de integración que sea funciónde una sola
variable (x o y) y usando ese factor, resolver la ecuación.
a) 2y 3 dx + 3y 2 dy = 0
b) (6xy 2 + 2y) dx + (12x2 y + 6x + 3) dy = 0
c) y sen(y) dx + x(sen(y) − y cos(y) )dy = 0
11. Resuelva la ecuación diferencial
(2x3 + 3x2 y − y 3 ) dx + (2y 3 + 3xy 2 − x3 ) dy = 0
sabiendo que admite un factor integrante del tipo µ(x, y) = f (x + y)
12. Resuelva la ecuación diferencial
y(x2 y 2 + xy)dx + x(x2 y 2 − 1) dy = 0
sabiendo que admite un factor integrante del tipo µ(x, y) = f (xy)
13. Resuelva la ecuación
6xy dx + 4x2 +

10
x

dy = 0

sabiendo que admite un factor integrante de la forma µ(x, y) = y f (x), siendo f (x) una función
que depende solo de x.
14. Sabiendo que µ(x, y) = 3xy 2 es un factor integrante de la ecuación
x
1
−
2
y
xy

dx + Q(y) dy = 0

determine Q(y) y resuelva larespectiva ecuación.

15. Sabiendo que µ(x, y) = ey sen x es un factor integrante de la ecuación
y F (x) dx + x2 G(y) dy = 0
(a) Determine F (x) y G(x).
(b) Resuelva la ecuación resultante.
IV.- Ecuaciones Lineales.
16. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernouilli
a) y ′ + xy = x3 y 3
b) xy ′ + y = y 2 ln(x)
c) y ′ + xy =

x
y3

√
d ) x3 y ′ = 2y( 3 y + 3x2 )
e) y(6x2 y 2 − x +1) + 2xy ′ = 0
f ) y ′ = y + e−3x y 4

1
2
17. Resuelva la ecuación de Ricatti y ′ = x3 + y − y 2
x
x
de la forma yp (x) = ax2 + b.

sabiendo que tiene una solución particular

18. Resuelva el problema de valor inicial
y ′ + x−1 y = x−1 y 2 ,

y(1) = y0

(Note que es una ecuación de Ricatti. No es muy dificil una solución particular)
19. Considere la ecuación lineal
y ′ + cos(x) y = e− sen(x)Pruebe que toda solución φ de esta ecuación satisface φ(kπ) − φ(0) = kπ
20. (a) Muestre que el cambio de variable z = g(y) convierte la ecuación
g ′ (y)y ′ + p(x)g(y) = f (x)
en una ecuación lineal.
(b) Usando lo anterior encuentre la solución general implícita de la ecuación
ey

2

2yy ′ +

2
x

=

1
x2

(c) Encuentre la solución particular que pasa por el punto (2, −(ln(2))1/2 ) y el intervalo...