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SOCIEDAD ESTÁNDARES DE INGENIERÍA PARA AGUAS Y SUELOS LTDA.

MÓDULO 1 LEYES DE DISTRIBUCIÓN DE PROCESOS HIDROLÓGICOS
Autores: Dr. Ing. Roberto Pizarro T. Ing. Juan Pablo Flores V. Ing. Claudia Sangüesa P. Ing. Enzo Martínez A.

SOCIEDAD ESTÁNDARES DE INGENIERÍA PARA AGUAS Y SUELOS LTDA. 1. INTRODUCCIÓN El presente documento fue extraído y reeditado del Instructivo N° 5 del libro “Elementosde Hidrología I” (Pizarro et al, 1986), el cual pretende entregar una metodología que permita predecir con cierta probabilidad los valores que puede tomar una variable hidrológica, en función de la información de que se disponga, planteándose lo anterior, en valores máximos probables, aplicando la ley de distribución de Gumbel, y asociado esto, a algunas pruebas de bondad de ajuste. Se plantea lautilización de la ley de distribución de Gumbel, dado que ella ha demostrado poseer una adecuada capacidad de ajuste, a valores máximos de caudales, precipitación en distintos períodos de tiempo, aportaciones anuales, etc. Además, se entrega una prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov, un cálculo del coeficiente de determinación, y ello asociado a un ejemplo práctico. 2. AJUSTE A LAFUNCION DE GUMBEL 2.1 Definición de la función de Gumbel Una variable aleatoria E sigue una distribución de probabilidad de Gumbel, si:

u = x − 0.450047 S (3) 1 = 0.779696 S (4) d
donde: x = media aritmética de la serie de datos considerados. S = desviación típica de la muestra de datos considerados. Los valores 0,450047 y 0,779696, son válidos para un número de cincuenta datos. Sin embargo, Heras(s/a), los señala como admisibles para cualquier tamaño de población, en virtud de la escasa relevancia que poseen. Luego, es posible determinar la función de Gumbel, con la información entregada precedentemente. De la ecuación (2), se desprende que es dable encontrar, para una probabilidad determinada, un valor para la variable aleatoria. Así, si se le aplica una probabilidad, de al menos 0,9 yse obtiene un valor K, implica que en el noventa por ciento de los casos cabe esperar un valor de x ≤ K. 2.2 Determinación de la Probabilidad Para conseguir definir la probabilidad implícita es preciso consignar dos conceptos previos, que son el período de retorno y la probabilidad de excedencia. Período de Retorno: se define como el tiempo que transcurre entre dos sucesos iguales. Sea ese tiempo,T. Probabilidad de Excedencia: es la probabilidad asociada al período de retorno.

F ( X ) = P[ε ≤ X ] = e

−e−d ( x −u )

con -∞ ≤ x ≤ ∞

(1)

y donde x presenta el valor a asumir por la variable aleatoria, con d y u parámetros y e base de los logaritmos neperianos. Despejando x de (1), queda;

x=u−

ln(− ln F ( X )) (2) d

Así,

Para la determinación de los parámetros d y u, seutilizan las siguientes expresiones que los definen:

Pexcedencia = P ( x) =

1 T

SOCIEDAD ESTÁNDARES DE INGENIERÍA PARA AGUAS Y SUELOS LTDA. En otras palabras, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor igual o inferior a cierto número X, está dado por la función de distribución de probabilidad F (X).

F ( x) = ∫

x

−∞

f ( x)dx = P ( x ≤ X ) = 1 −

1 Tdonde: Fn (x): frecuencia observada acumulada. n: N° total de orden N: N° total de datos. En el caso de la frecuencia teórica acumulada, ésta se determina a través de la función de Gumbel.

luego, la probabilidad de que x sea mayor que X está dada por la función complementaria.

P( x > X ) = 1 − F ( X ) =
3. BONDAD DEL AJUSTE

1 T

F ( x) = e − e

−d ( x − u)

Una vez determinadas ambasfrecuencias, se obtiene el supremo de las diferencias entre ambas, en la i-ésima posición de orden, que se denomina D.

Se entiende por bondad de ajuste, la asimilación de datos observados de una variable, a una función matemática previamente establecida y reconocida. A través de ésta es posible interpolar y extrapolar información; en otras palabras, predecir el comportamiento de la variable en...