Pendiente

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Pendiente (matemáticas)

Pendiente de una carretera.
En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.
En geometría, puede referirse a la pendiente de la ecuación de una recta como caso particular de la tangente a una curva, en cuyo casorepresenta la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante, por ejemplo, en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas o canales.
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Pendiente de una recta
Definición
La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano ), suele ser representado por la letra , y es definidocomo el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

Geometría
Una recta horizontal tiene pendiente igual a 0 (cero). Cuanto menor sea el valor de la pendiente, menor inclinación tendrá la recta; por ejemplo, una recta que se eleve un ángulo de 45° con respecto al eje X tiene una pendiente m = +1,y una recta que caiga 30° tiene pendiente m = -0,5. La pendiente de una recta vertical no está definida, o se dice que es infinita.
El ángulo θ que una recta forma con el eje horizontal está relacionado con la pendiente m por medio de la siguiente relación trigonométrica:

o equivalentemente:

Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y porende no tienen pendiente definida; dos o más rectas sonperpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas) si el producto de sus pendientes es igual a -1.
La pendiente en las ecuaciones de la recta

Representación gráfica.
Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:

entonces m es lapendiente. En esta ecuación, el valor de  puede ser interpretado como el punto donde la recta se interseca con el eje Y, es decir, el valor de  cuando . Este valor también es llamado coordenada de origen.
Si la pendiente  de una recta y el punto  de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:

La pendiente de la recta en la fórmula general:

estádada por:

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Cálculo
El concepto de pendiente es central en el cálculo diferencial. En funciones no-lineales, la razón de cambio varía a lo largo de la curva. La derivada de la función en un punto es la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto, y es igual a la variación de la función en ese punto.

Pendiente de una recta
 
Es elgrado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.
 
Si una recta pasa por dos puntos dintintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:
 

Esto es,

 
Ejemplo para discusión:  Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso.
 
1)  (-3,4) y (6, -2)
2)  (-3, -4) y (3, 2)
3)  (-4, 2) y ( 3,2)
4)  (2, 4) y (2, -3)
 
Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:
 
Pendiente | Tipo de recta |
positiva | recta ascendente |
negativa | recta descendente |
cero | recta horizontal |
no definida | recta vertical |
 
Ejercicio:  Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.
 
1)  (-3 , -3) y (2, -3)2)  (0, 4) y (2, -4)
3)  (-2, -1) y (1, 2)
4)  (-3, 2) y (-3, -1)
 
Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto
 
Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto. 
 
Por ejemplo,  la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3  y el...