Pendulo
Páginas: 9 (2072 palabras)
Publicado: 6 de abril de 2014
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VICTORIA
Modelado y simulación de sistemas
Facilitador
Dr. Roger Miranda Colorado
Ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al sistema TORA
Mecatrónica
Ciudad Victoria, Tamaulipas, 21 de Febrero de 2014
Tipo de trabajo
Investigación
Índice
1. Introducción
2
2. Desarrollo
3
3. Simulación
9
4. Conclusiones
14
Página 1
Tipo detrabajo
Investigación
1.
Introducción
Sistema TORA (Oscilador Traslacional con Actuador Rotacional) El sistema mostrado en
la figura 1 representa un oscilador traslacional con actuador rotacional. El oscilador consiste
en un carro de masa M conectado con una pared ?ja por un resorte lineal con una constante
de rigidez k. El carro está limitado a una dimensión de movimiento. El actuadorque está
unido al carro tiene una masa m y un momento de inercia I desde su centro de masa, que está
localizado a una distancia r desde el punto en el cual la masa rota. El objetivo es determinar
las ecuaciones dinámicas para este sistema.
Figura 1: Sistema TORA.
Página 2
Tipo de trabajo
Investigación
2.
Desarrollo
Primeramente se delimitan las coordenadas generalizadas quedescribirán el sistema TORA. El carro solo depende de la posición en X así mismo la coordenada generalizada que
describe al péndulo es θ. Las coordenadas generalizadas se muestran en el conjunto de ecuaciones 1.
q1 = x; q2 = θ
(1)
Siguiente de ello se determina la posición del péndulo y del carro como se muestra el
agregado de ecuaciones 2, 3 y 4 utilizando las coordenadas generalizadasque se obtuvieron
anteriormente. La ecuación 2 representa la posición del carro, misma que ya se había explicado
que solo dependía de una variable porque tiene un movimiento nulo en el eje y, posteriormente
se muestra la ecuación 3 que representa la posición de la masa del péndulo en la coordenada
x y la ecuación 4 que representa la posición de la masa del péndulo en la coordenada y.
x1 = q1
x1 = q1 + rsenq2
y2 = −rcosq2
(2)
(3)
(4)
Las posiciones se derivan para obtener las velocidades de las componentes y poder obtener
la magnitud de la velocidad mediante la norma del vector. Las ecuaciones 5, 6 y 7 muestran las
velocidades de cada componente, la ecuación 5 muestra la velocidad en x de la masa del carro,
posteriormente las ecuaciones 6 y 7 muestran la velocidad delpéndulo en las coordenadas x
y y respectivamente.
x1 = q˙1
˙
x2 = q˙1 + q˙2 rcosq2
˙
y˙2 = q˙2 rsenq2
(5)
(6)
(7)
Página 3
Tipo de trabajo
Investigación
Se procede a construir los vectores de velocidad. En la ecuación 8 se muestra el vector
velocidad del carro y la ecuación 9 muestra el vector velocidad del péndulo.
q˙1
0
(8)
q˙1 + q˙2 rcosq2
q˙2 rsenq2
(9)→
v1 =
→
v2 =
Como se había mencionado, se pasa a determinar la norma de los vectores velocidad
para poder agregar los mismos a las ecuaciones de la energía cinética para poder obtener el
Lagrangiano. La ecuación 10 muestra la norma del vector velocidad del carro, así mismo la
ecuación 11 muestra la norma del vector velocidad del péndulo.
v1 ||2 =
v1 ||2 =
q˙1 + q˙2 rcosq2q˙2 rsenq2
q˙1 0
q˙1
0
q˙1 + q˙2 rcosq2
q˙2 rsenq2
2
= q˙1
(10)
2
2
2
= q˙1 + 2q˙1 q˙2 rcosq2 + q˙2 r2 cos2 q2 + q˙2 r2 sen2 q2
(11)
Después de obtener las normas de los vectores se procede a elaborar las ecuaciones de la
energía cinética que se utilizaran para la ecuación del Lagrangiano. La ecuación 12 muestra la
energía cinética del carro, la ecuación 13 muestra laenergía cinética traslacional del péndulo
y la ecuación 14 muestra la energía rotacional del péndulo.
1
2
T1 = m1 q˙1
2
(12)
1
1
2
2
Tt = m2 q˙1 + m2 q˙1 q˙2 rcosq2 + m2 q˙2 r2 1(cos2 q2 + sen2 q2 )
2
2
(13)
1 2
Tr = I q˙2
2
(14)
Página 4
Tipo de trabajo
Investigación
La ecuación 15 representa la energía cinética total del sistema (TT ) que es la suma...
Modelado y simulación de sistemas
Facilitador
Dr. Roger Miranda Colorado
Ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al sistema TORA
Mecatrónica
Ciudad Victoria, Tamaulipas, 21 de Febrero de 2014
Tipo de trabajo
Investigación
Índice
1. Introducción
2
2. Desarrollo
3
3. Simulación
9
4. Conclusiones
14
Página 1
Tipo detrabajo
Investigación
1.
Introducción
Sistema TORA (Oscilador Traslacional con Actuador Rotacional) El sistema mostrado en
la figura 1 representa un oscilador traslacional con actuador rotacional. El oscilador consiste
en un carro de masa M conectado con una pared ?ja por un resorte lineal con una constante
de rigidez k. El carro está limitado a una dimensión de movimiento. El actuadorque está
unido al carro tiene una masa m y un momento de inercia I desde su centro de masa, que está
localizado a una distancia r desde el punto en el cual la masa rota. El objetivo es determinar
las ecuaciones dinámicas para este sistema.
Figura 1: Sistema TORA.
Página 2
Tipo de trabajo
Investigación
2.
Desarrollo
Primeramente se delimitan las coordenadas generalizadas quedescribirán el sistema TORA. El carro solo depende de la posición en X así mismo la coordenada generalizada que
describe al péndulo es θ. Las coordenadas generalizadas se muestran en el conjunto de ecuaciones 1.
q1 = x; q2 = θ
(1)
Siguiente de ello se determina la posición del péndulo y del carro como se muestra el
agregado de ecuaciones 2, 3 y 4 utilizando las coordenadas generalizadasque se obtuvieron
anteriormente. La ecuación 2 representa la posición del carro, misma que ya se había explicado
que solo dependía de una variable porque tiene un movimiento nulo en el eje y, posteriormente
se muestra la ecuación 3 que representa la posición de la masa del péndulo en la coordenada
x y la ecuación 4 que representa la posición de la masa del péndulo en la coordenada y.
x1 = q1
x1 = q1 + rsenq2
y2 = −rcosq2
(2)
(3)
(4)
Las posiciones se derivan para obtener las velocidades de las componentes y poder obtener
la magnitud de la velocidad mediante la norma del vector. Las ecuaciones 5, 6 y 7 muestran las
velocidades de cada componente, la ecuación 5 muestra la velocidad en x de la masa del carro,
posteriormente las ecuaciones 6 y 7 muestran la velocidad delpéndulo en las coordenadas x
y y respectivamente.
x1 = q˙1
˙
x2 = q˙1 + q˙2 rcosq2
˙
y˙2 = q˙2 rsenq2
(5)
(6)
(7)
Página 3
Tipo de trabajo
Investigación
Se procede a construir los vectores de velocidad. En la ecuación 8 se muestra el vector
velocidad del carro y la ecuación 9 muestra el vector velocidad del péndulo.
q˙1
0
(8)
q˙1 + q˙2 rcosq2
q˙2 rsenq2
(9)→
v1 =
→
v2 =
Como se había mencionado, se pasa a determinar la norma de los vectores velocidad
para poder agregar los mismos a las ecuaciones de la energía cinética para poder obtener el
Lagrangiano. La ecuación 10 muestra la norma del vector velocidad del carro, así mismo la
ecuación 11 muestra la norma del vector velocidad del péndulo.
v1 ||2 =
v1 ||2 =
q˙1 + q˙2 rcosq2q˙2 rsenq2
q˙1 0
q˙1
0
q˙1 + q˙2 rcosq2
q˙2 rsenq2
2
= q˙1
(10)
2
2
2
= q˙1 + 2q˙1 q˙2 rcosq2 + q˙2 r2 cos2 q2 + q˙2 r2 sen2 q2
(11)
Después de obtener las normas de los vectores se procede a elaborar las ecuaciones de la
energía cinética que se utilizaran para la ecuación del Lagrangiano. La ecuación 12 muestra la
energía cinética del carro, la ecuación 13 muestra laenergía cinética traslacional del péndulo
y la ecuación 14 muestra la energía rotacional del péndulo.
1
2
T1 = m1 q˙1
2
(12)
1
1
2
2
Tt = m2 q˙1 + m2 q˙1 q˙2 rcosq2 + m2 q˙2 r2 1(cos2 q2 + sen2 q2 )
2
2
(13)
1 2
Tr = I q˙2
2
(14)
Página 4
Tipo de trabajo
Investigación
La ecuación 15 representa la energía cinética total del sistema (TT ) que es la suma...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.