PEP 4 Lgebra 2002

Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Matem´
atica y C.C.
1
´
Soluci´
on Pep No 4 de Algebra
Ingenier´ıa Civil
16 de Diciembre del 2002

(1) Considere la funci´on T : R2 [x] −→ R2 [x] talque
2

ai xi

T

= a1 − a2 x + a0 x2

i=0

Demuestre que T es un Isomorfismo de espacios vectoriales

Demostraci´on:
Primero demostrar que T es una T.L.
2

2
i

Sea p(x) =

bi xi entonces:

ai x y seaq(x) =
i=0

i=0
2

2

T (p(x) + q(x)) = T

bi x

ai x +
i=0

2
i

i

(ai + bi )xi

=T

i=0

i=0

= (a1 + b1 ) − (a2 + b2 )x + (a0 + b0 )x2
= (a1 − a2 x + a0 x2 ) + (b1 − b2 x + b0 x2 )
= T (p(x)) + T(q(x))
Ahora para ver que T (αp(x)) = αT (p(x)) es inmediato.
Luego T es una T.L.
Considere ahora el kerT
kerT

= {p(x)/T (p(x)) = 0 + 0x + 0x2 }
= {p(x)/a1 − a2 x + a0 x2 = 0 + 0x + 0x2 }
= {p(x)/a1= 0, a2 = 0, a0 = 0}
= {0}

Usando el teorema de la dimensi´on se tiene:
dimR2 [x] = dim(kerT ) + dim(ImT ) −→ dim(ImT ) = 3.
1Cada problema vale 1.5 puntos.

Tiempo 120’
1

2

−→ ImT = R2 [x].

Detodo lo anterior se concluye que T es un isomorfismo.
(2)

(i) Determine T ∈ LR (MR (2)) tal que verifique las siguientes propiedades:
1 0
0 0

(a) (MR (2))−2 =

1 2
3 0

(b) (MR (2))1 =

1 2
0 0

,1 2
3 4

,

Soluci´on:

1 0
0 0

Considere B =

Sea A =

a b
c d

A = (a − b/2)

+(c/3 − d/4)

1 2
0 0

,

1 2
3 0

,

,

1 2
3 4

, escribamos A en c.l de los vectores de la base.
1 0
0 0

1 2
0 0

+(b/2 − c/3)

1 2
3 0

1 2
3 4

+ d/4

Aplicando T se tiene:

T (A) = (a − b/2) · −2

+(c/3 − d/4)

1 0
0 0
1 2
3 0

+ (b/2 − c/3) · −2

1 2
0 0

1 2
3 4

+ d/4

Asi

T

a b
c d

= −2(a − b/2)

+(c/3− d/4)

=

una base de MR (2)

1 0
0 0
1 2
3 0

− 2(b/2 − c/3)

+ d/4

−2a + c −2b + 2c
c
d

1 2
3 4

1 2
0 0

3

(ii) Demuestre que la transformaci´on T construida en la parte (i) es un isomorfismo.Soluci´on:
Considere la matriz asociada a T en la base B.

−2
0 0 0
 0 −2 0 0 


[T ]B
B =
0
0 1 0 
0
0 0 1


y como det([T ]) = 4 = 0 −→ T es un isomorfismo.
(3) Sea α = {(1, 0, 1), (1, 1,...