Perceptrón simple

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4.1 Introducción

El Perceptrón Simple

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Una de las características más significativas de las redes neuronales es su capacidad para aprender a partir de alguna fuente de información interactuando con su entorno. En 1958 el psicólogo Frank Ronsenblant desarrolló un modelo simple de neurona basado en el modelo deMcCulloch y Pitts y en una regla de aprendizaje basada en la corrección del error. A este modelo le llamó Perceptrón. Una de las características que más interés despertó de este modelo fue su capacidad de aprender a reconocer patrones. El Perceptrón está constituido por conjunto de sensores de entrada que reciben los patrones de entrada a reconocer o clasificar y una neurona de salida que se ocupade clasificar a los patrones de entrada en dos clases, según que la salida de la misma se 1 (activada) o 0 (desactivada). Sin embargo, dicho modelo tenía muchas limitaciones, como por ejemplo, no es capaz de aprender la función lógica XOR. Tuvieron que pasar unos años hasta que se propusiera la regla de aprendizaje de retropropagación del error para demostrarse que el Perceptrón multicapa es unaproximador universal.

4.2 El Perceptrón simple
Supongamos que tenemos una función f de Rn en {-1,1}, que aplica un patrón de entrada x = (x1,x2,…,xn)T ∈ Rn en la salida deseada z ∈ {-1,1}, es decir, f(x) = z. La información de que disponemos sobre dicha función viene dada por p pares de patrones de entrenamiento {x1,z1}, {x2,z2},…,{ xp,zp} donde xi∈Rn y f (xi) = zi∈{-1,1}, i=1,2,…,p. Dichafunción realiza una partición en el espacio Rn de patrones de entrada; por una parte estarían los patrones con salida +1 y por otra parte los patrones con salida −1. Por lo tanto, diremos que la función f clasifica a los patrones de entrada en dos clases. Ejemplos de funciones f de este tipo son la función lógica OR o la función par. Ahora vamos a construir un dispositivo sencillo que aprenda dichafunción a partir de un conjunto conocido de patrones (relaciones) de entrenamiento. Para ello vamos a utilizar una unidad de proceso bipolar que como vimos es una función matemática con dominio el conjunto n-dimensional {-1,1}n y rango el conjunto {-1,1}, definida por la siguiente expresión: si w1 x 1 + w2 x2 + ... + wn xn ≥ θ ⎧ ⎪ 1 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = ⎨ (1) si w1 x 1 + w2 x2 + ... + wn xn < θ ⎪−1 ⎩

donde los parámetros w1,w2,…,wn, se llaman pesos sinápticos y son los pesos con los que se ponderan los valores de entrada x1,x2,…,xn, o argumentos de la función; la suma ponderada u = w1 x1 + w2 x 2 + ... + wn x n se llama potencial sináptico y el parámetro θ se llama umbral o sesgo. También se puede expresar la función f mediante la función signo, es decir, f ( x1 , x 2 ,..., x n ) =sgn(u − θ ) siendo la función signo, x≥0 ⎧ 1 sgn(x) = ⎨ x 0 tendremos la regla de adaptación con incremento fijo. Cuando la función de transferencia usada es la función signo (valores bipolares) la regla de aprendizaje se puede escribir de la forma:
⎧w j (k ) + 2ηx j (k ) ⎪ w j (k + 1) = ⎨w j (k ) ⎪ ⎩w j (k ) − 2ηx j (k ) si y (k ) = −1 y z (k ) = 1, si y (k ) = z (k ) si y (k ) = 1 y z (k ) = −1Por lo tanto, esta regla de aprendizaje es un método de detección del error y corrección. Solo aprende, es decir, modifica los pesos, cuando se equivoca. Cuando tenemos un patrón que pertenece a la primera clase (z(k)=1) y no es asignado a la misma, entonces corrige el valor del peso sináptico añadiéndole una cantidad proporcional al valor de entrada, es decir lo refuerza, mientras que si elpatrón de entrada no pertenece a esta clase y el Perceptrón lo asigna a ella, lo que hace es debilitar el peso restándole una cantidad proporcional al patrón de entrada . No modificaremos los pesos cuando el valor deseado coincida con la salida de la red. ¿Cómo se modifica el sesgo? De la misma manera, teniendo en cuenta que el sesgo se puede considerar como el peso sináptico correspondiente a un...