PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS TODOS A LA VEZ

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS TODOS A LA VEZ
Ejemplo 4: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?
Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger unasegunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:
8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 40320
Analizando el ejemplo anterior podemos definir las permutaciones u ordenaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez, de la siguiente forma:
PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS TODOS A LA VEZ
"Las ordenaciones opermutaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez es n! y se denotan con el símbolo:
ó 

Ejemplo 5: ¿De cuántas formas se pueden colocar 5 libros diferentes en un anaquel?
Solución: 5!
 PERMUTACIONES CIRCULARES
Ahora estudiaremos algunos ejemplos de arreglos circulares, sabemos que si queremos sentar a cuatro personas una al lado de la otra en fila, el número de arreglos quepodemos hacer es 4!; ahora bien, si las queremos sentar al rededor de una mesa circular, ¿de cuántas formas lo podemos hacer?
Observemos los siguientes arreglos:
 

Por cada una de las permutaciones o arreglos circulares tenemos 4 de ellos diferentes en fila; esto es, el arreglo circular 1 puede leerse en sentido contrario a las agujas del reloj de las siguientes formas: ABCD, BCDA, CDAB, y DABC,que son 4 arreglos diferentes si fueran en filas; pero es un solo arreglo circular. Entonces, en lugar de tener 4! que es el número de arreglos en fila, tenemos solamente . En consecuencia se puede establecer
PERMUTACIONES CIRCULARES
"El número de permutaciones circulares de n elementos tomados todos a la vez es (n - 1) !" y lo denotaremos por
Pcir,n = (n - 1)!
Ejemplo 6: ¿De cuántas formasse pueden sentar 3 parejas de casados alrededor de una mesa circular, si no debe haber dos mujeres juntas ni dos hombres juntos?
Solución: 2! ´ 3! = 2 ´ 6 = 12

El número de formas en que podemos sentar a los 3 mujeres alrededor de una mesa circular, dejando un lugar en medio es 2!. Obsérvese que el primer renglón de círculos, los seis arreglos diferentes tienen a MMM siempre en la mismaposición; y en el segundo renglón, los seis arreglos tienen a MMMsiempre en la misma posición; por ello son sólo dos arreglos de las tres mujeres, dejando un lugar en medio. Hay 3! = 6 formas de sentar a los tres hombres por cada uno de los dos arreglos de mujeres; quedando así en forma alternada.
 PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS DE r EN r,
donde (r £ n)
Ejemplo 7: ¿ De cuántasformas diferentes se pueden sentar seis alumnos en un salón de clases con 25 pupitres?
Solución: El primer estudiante puede elegir entre 25 lugares, el segundo tendrá 24 lugares a escoger, el tercero 23, así sucesivamente; por lo tanto el número de arreglos sin repetición de 25 elementos tomados de 6 en 6 es:

Esto se simboliza por = 
Ejemplo 8: ¿Cuántos números se 2 cifras sin repetición sepueden formar con los dígitos 8, 2, 5, 4, 7?
Solución: = 5 ´ 4 = 20
Observemos que: = 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 = 360
= 8 ´ 7 ´ 6
Regresando al ejemplo 3.7, donde = 
Para que aparezca 25!, tenemos que multiplicar por 19! pero para que la igualdad no se altere tendremos que dividir por 19!, por lo tanto:
= 
Pero, 19! = (25 - 6)! , de donde = 
En general en la fórmula: = n (n - 1) (n - 2) ¼ (n - r + 1) paraque aparezca n! en el numerador, necesitamos multiplicar por (n - r) (n - r - 1) ¼ (3) (2) (1) y para que no se altere la igualdad debemos dividir entre (n - r)(n - r - 1) ¼ (3) (2) (1) = (n - r)! de modo que
= n (n - 1) (n - 2) ¼ (n - r + 1) = 
PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS DE r EN r, donde (r£ n).
"Las permutaciones sin repetición de n elementos tomados de r en r,...