Permutaciones y Combinaciones.

Permutaciones y combinaciones.
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, laspermutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 ×... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
nr |
donde n es el número de cosas que puedeselegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa) |
 
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quiereselegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
| La función factorial (símbolo!:) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos: * 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 * 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 5040 * 1! = 1 |
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones. |
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20, 922, 789, 888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay unbuen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ... |   | = 16 × 15 × 14 = 3360 |
| | |
13 × 12 ... | | |
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
|
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa) |
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
16! | = | 16! | = |20,922,789,888,000 | = 3360 |
| | | | | |
(16-3)! | | 13! | | 6,227,020,800 | |
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
10! | = | 10! | = | 3,628,800 | = 90 |
| | | | | |
(10-2)! | | 8! | | 40,320 | |
(Que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Losnúmeros se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
* imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
* después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
El orden importa | El orden no importa |
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1 | 1 2 3 |
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se...