Perpendicularidad
Páginas: 9 (2174 palabras)
Publicado: 14 de febrero de 2011
Perpendicularidad
la perpendicular de una línea o plano, es la que forma ángulo recto con la dada.
La relación de perpendicularidad se puede dar entre:
▪ Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie decada una de ellas en la otra.
▪ Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen.
▪ Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.
▪ Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos.
Propiedades
▪ Simétrica: Si una figura geométrica es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.
▪ Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentescongruentes, son perpendiculares.
▪ Los lados de un ángulo recto y sus semirrectas opuestas, determinan dos rectas perpendiculares. Esto se puede extender a semiplanos (los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares).
Construcción de la perpendicular a una recta por un punto dado
[pic]
[pic]
Construcción de la perpendicular (azul) a la línea AB através del punto P.
Para construir una perpendicular a la línea AB a través del punto P usando regla y compás, procede como sigue:
▪ Paso 1 (rojo): dibuja un círculo con centro en P para crear los puntos A' y B' en la línea AB, los cuales son equidistantes a P.
▪ Paso 2 (verde): dibuja dos círculos centrados en A' y B', pasando los dos por P. Sea Q el otro punto de intersección de estosdos círculos.
▪ Paso 3 (azul): une P y Q para obtener la perpendicular PQ.
Para probar que PQ es perpendicular a AB, usa el teorema de congruencia SSS para los triángulos QPA' y QPB' para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego usa el teorema de congruencia SAS para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales.
el paralelismo es una relaciónque se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás).
Clásicamente, dos rectas paralelas se definen como las que, "por mucho que las prolongues", nunca se unen. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii Festá contenidoen G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = [pic]), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas sii tienen un mismo vector director.
Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, ytambién que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.
Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.
De manera semejante, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto.
Notación[pic] (recta a paralela a b)
Propiedades
▪ Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:
a || a
▪ Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:
Si a || b [pic] b || a
Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.
▪ Transitiva: Si una recta es paralela a...
la perpendicular de una línea o plano, es la que forma ángulo recto con la dada.
La relación de perpendicularidad se puede dar entre:
▪ Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie decada una de ellas en la otra.
▪ Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen.
▪ Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.
▪ Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos.
Propiedades
▪ Simétrica: Si una figura geométrica es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.
▪ Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentescongruentes, son perpendiculares.
▪ Los lados de un ángulo recto y sus semirrectas opuestas, determinan dos rectas perpendiculares. Esto se puede extender a semiplanos (los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares).
Construcción de la perpendicular a una recta por un punto dado
[pic]
[pic]
Construcción de la perpendicular (azul) a la línea AB através del punto P.
Para construir una perpendicular a la línea AB a través del punto P usando regla y compás, procede como sigue:
▪ Paso 1 (rojo): dibuja un círculo con centro en P para crear los puntos A' y B' en la línea AB, los cuales son equidistantes a P.
▪ Paso 2 (verde): dibuja dos círculos centrados en A' y B', pasando los dos por P. Sea Q el otro punto de intersección de estosdos círculos.
▪ Paso 3 (azul): une P y Q para obtener la perpendicular PQ.
Para probar que PQ es perpendicular a AB, usa el teorema de congruencia SSS para los triángulos QPA' y QPB' para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego usa el teorema de congruencia SAS para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales.
el paralelismo es una relaciónque se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás).
Clásicamente, dos rectas paralelas se definen como las que, "por mucho que las prolongues", nunca se unen. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii Festá contenidoen G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = [pic]), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas sii tienen un mismo vector director.
Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, ytambién que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.
Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.
De manera semejante, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto.
Notación[pic] (recta a paralela a b)
Propiedades
▪ Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:
a || a
▪ Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:
Si a || b [pic] b || a
Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.
▪ Transitiva: Si una recta es paralela a...
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