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CALCULO DE FUNCIONES MULTIVARIABLES

REGLA

DE LA

Enero-Junio 2014

CADENA

1. Un cilindro anular tiene un radio interior de r1 y un radio exterior de r2. Su momento de
inercia es es

I

1
2
m(r1
2

2

r2 )

donde m es la masa. Los dos radios se incrementan a

razón de 2 cm/seg. Hallar la velocidad o ritmo de cambio al que varía I en el instante en
quelos radios son 6 y 8 cms. (suponer que la masa es constante)
RESPUESTA=
28m cm2/seg

2. Utilice la ley del gas ideal con k=0.8 para obtener la tasa a la que la temperatura varía
en el instante en que el volumen del gas es de 15 litros y el gas está bajo una presión
de 12 atm si el volumen se incrementa a la tasa de 0.1 lt/min y la presión disminuye a la
tasa de 0.2 atm/min. (PV=kT)RESPUESTA = −2.25ºK/min

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3. Se deposita arena en una pila cónica de modo que en cierto instante, la altura es de
100 pulgadas y crece a razón de 3 pulg. / minuto, mientras el radio es de 40 pulgadas y
crece a razón de 2 pulg. / min. ¿Qué tan rápido cambia el volumen en ese instante?
RESPUESTA: dV/dt = 21781.76in3/min.

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4. La producción de frijol F en miles de toneladas, es una función de la cantidad de lluvia
R, y de la temperatura T. Las figuras representan los pronósticos para la variación de la
lluvia y la temperatura con el tiempo, debido al calentamiento del planeta. Suponga que
sabemos que F = 2.3 R – 4.5 T, utiliceeste dato para calcular el cambio en la
producción de frijol entre el año de 2020 y el 2021. en consecuencia calcule dF /dt
cuando t = 2020. (2) RESPUESTA : ≈ −0.68

McCallum, W.G.; Gleason A.M. Hughes-H. D. 1998. Càlculo de Varias Variables. ED. CECSA. 1ª.
ED. Mèxico.p. 147

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5. Las dimensiones de una cajarectangular están creciendo a los ritmos
siguientes: la longitud 3ft / min. la anchura 2 ft / min y la altura ½ ft / min. Hallar
las razones de cambio del volumen y del área de la superficie de esta caja
cuando la longitud, anchura y altura son respectivamente 10, 6 y 4.

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EXTREMOS

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RELATIVOS

1.- Supongamos quela producción de cierta mercancía depende de dos insumos. Las
cantidades de estos dos insumos están dadas por 100 x y 100y, cuyos precios son,
respectivamente, $7 y $4 (dólares). La cantidad de la producción está indicada por 100z,
cuyo precio por unidad es de $9. además la función de producción f tiene los valores de la
función f(x,y) = x/3 + y/3 + 5 – 1/x – 1/y. Determinar la máximaganancia. RESPUESTA:
Utilidad máxima= $2700

2.- Una fábrica ocupa dos tipos de trabajadores, A y B. Los trabajadores A ganan $14 por
turno y los trabajadores B, $13 por turno. Para un cierto turno de producción se ha
determinado que además de los salarios de los trabajadores, si se utilizan “x”
trabajadores de tipo A y “y” trabajadores de tipo B, el número de unidades monetarias en
el costo delturno es y3 + x2 – 8xy + 600. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben
utilizarse de modo que el costo total del turno será mínimo si se requieren al menos 3
trabajadores de cada tipo para un turno? ¿Cuál es el costo mínimo?
RESPUESTA Y=7.67 X = 23.68 Costo Mínimo = $590.18

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3.- Suponga que en la producción decierto artículo se requieren x horas-máquina y “y”
horas-persona, y que el costo de producción está dado por f(x,y), donde f(x,y)= 2x3 – 6xy
+ y2 + 500 : determine los números de horas-máquina y de horas-persona necesarios para
producir el artículo al costo mínimo. R = 3 horas-máquina y 9 horas-persona

4.- Supóngase que T grados centígrados es la temperatura en cualquier punto (x,y,z) en
la...