Pitagoras

Chapter 1 Teorema de Pit´goras a
a Antes de enunciar el Teorema de Pit´goras, demostraremos dos relaciones en tri´ngulos a rect´ngulos, conocidas como el Teorema de la Altura y el Teorema del Cateto. a Primero definimos lo que es una proyecci´n: o

La proyecci´n de un punto a una recta, es el pie de la perpendicular de dicho punto o a la recta. Y tambi´n: e

La proyecci´n de un segmento a unarecta, es el conjunto de proyecciones de cada o punto perteneciente al segmento sobre la recta.

En la figura, el segmento P Q es la proyecci´n de P Q sobre l. o P

Q

Q P Tambi´n se pudo haber dicho que, la proyecci´n de un segmento a una recta, es el segmento e o que une las proyecciones de los extremos del segmento dado sobre la recta. Ahora que ya sabemos lo anterior, podemos continuarcon los teoremas: 1

2

´ CHAPTER 1. TEOREMA DE PITAGORAS

1.1

Teorema de la Altura

Teorema. En un tri´ngulo rect´ngulo, la altura hacia la hipotenusa es media propora a cional entre las proyecciones de los catetos sobre ´sta. e

Demostraci´n. Para ver esto, dibujemos un tri´ngulo rect´ngulo en C, de catetos a y b, y o a a tracemos la altura CD = h. Adem´s, sean AD = b y BD = a ,como muestra la figura. a C

b

h

a

A

b

D

a

B

Claramente, a y b son las proyecciones de a y b sobre AB. Ahora, observemos que los tri´ngulos ACD y BCD son semejantes, por tener un ´ngulo recto y ∠CAD = 90◦ − a a h b ∠ACD = ∠BCD (caso AA). As´ se obtiene la relaci´n ı, o = , de donde: a h h2 = a · b , que es lo que quer´ ıamos probar.

1.2

Teorema del Cateto

Teorema. Enun tri´ngulo rect´ngulo, cada uno de los catetos es media proporcional a a entre la hipotenusa y su proyecci´n sobre ella. o

Demostraci´n. Retomando la figura anterior, tenemos que o C

ABC ∼

ACD.

b

h

a

A

b

D

ßÞ
c

a

B

´ 1.3. TEOREMA DE PITAGORAS c b = , de donde b b

3

Por lo tanto

b2 = b c ABC ∼ BCD, obtenemos a2 = a c

An´logamente, considerandoque a

Ahora, tomando las ultimas dos igualdades y sumando miembro a miembro obtenemos: ´ a2 b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Es decir, obtenemos el = = = = = = ac bc ac+bc c(a + b ) c(c) c2

1.3

Teorema de Pit´goras a

Teorema. En un tri´ngulo rect´ngulo, la suma de los cuadrados de los catetos es a a igual al cuadrado de la hipotenusa. B

a2 + b2 = c2 a c

C

b

A

1.4Rec´ ıproco del Teorema de Pit´goras a

Como era de esperarse, el rec´ ıproco de este teorema tambi´n es cierto: e Teorema. Si en un tri´ngulo, la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera a es igual al cuadrado del tercer lado, entonces el tri´ngulo es rect´ngulo en el ´ngulo a a a opuesto al tercer lado.

4

´ CHAPTER 1. TEOREMA DE PITAGORAS

Demostraci´n. Para convencernos de estehecho nos apoyaremos en la primera parte del o teorema. Supongamos que tenemos un tri´ngulo ABC, tal que AC 2 + BC 2 = AB 2 . a Entonces, demostraremos que dicho tri´ngulo es rect´ngulo en C. a a

B

B

C

A

C

A

Construyamos otro tri´ngulo A B C , recto en C y tal que A C = AC y B C = BC. a Como el tri´ngulo A B C es rect´ngulo se cumple que A C 2 + B C 2 = A B 2 , o bien, a a AC2 + BC 2 = A B 2 = AB 2 . Es decir que, A B = AB y, por lo tanto, los tri´ngulos ABC a y A B C son congruentes por tener sus tres lados respectivamente iguales. Entonces ∠A C B = ∠ACB = 90◦ , por lo que el ABC es rect´ngulo en C. a Con esto completamos la demostraci´n del Teorema de Pit´goras. o a

1.5

Ejemplos
Soluci´n. Lo primero que hacemos es dibujar nuestra figura. o 1 d

1. Hallar lalongitud de la diagonal de un cuadrado de lado igual a 1.

1

1

1 Llamemos d a la longitud de la diagonal que buscamos. Notamos que se forman dos tri´ngulos rect´ngulos al trazar una de las diagonales. Estos tienen catetos 1, 1 e a a hipotenusa d. Aplicando el teorema de Pit´goras en uno de ellos tenemos: a d2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2.

1.5. EJEMPLOS √

5 2.

Por lo tanto d =

√ 2....