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3.- LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER HOMOGENEA

En este tema se están estudiando las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, con coeficientes constantes.
Hay ecuaciones lineales concoeficientes variables que pueden transformarse, mediante cambio de variables, en ecuaciones con coeficientes constantes. Entre ellos están las ecuaciones de Euler o Cauchy-Euler.
En el caso homogéneo,de segundo orden, se trata de la ecuación :
(3)
donde a0, a1, a2 son constantes reales y a0 0.
Se verifica :
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“El cambio reduce laecuación (3) a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes”.
En efecto :
Suponiendo x 0, se hace ó t = ln x.
Entonces :
Sustituyendo en (3) :
Es decir: (4)ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.
Una vez resuelta esta ecuación, se deshace el cambio.

Notas :

a) El intervalo en el que se aplica el teorema de existencia y unicidad,es cualquier I que no contenga x = 0.
b) Se ha supuesto en lo anterior que x 0. Si x 0 se hace x = - et. Si y(x) es una solución de la ecuación de Euler homogénea para x 0, lo es y(-x) parax 0.
c) La ecuación a0(ax + b)2 y’’+ a1(ax + b)y’ + a2y = 0, también se transforma, mediante en una ecuación con coeficientes constantes.

Por tanto :

Caso 1: Si la ecuacióncaracterística de (4) tiene dos raíces reales r1 y r2 distintas, la solución de (4) es: y(t) = C1 + C2 .
Luego la solución general de (3) es : y(x) =
Caso 2: Si la ecuación característica de (4)tiene una raíz doble r1 la solución de (4) es : .
Luego la solución general de (3) es : .
Caso 3: Si la ecuación característica de (4) tiene las raíces complejas i , la solución de (4) es:y(t) = et [C1 cos t + C2 sen t].
Luego la solución general de (3) es : y = |x| [C1 cos (ln|x|) +C2 sen (ln|x|].

Nota

Podría abordarse la resolución de (3), probando soluciones de la...