planos Tangente y normal
TERRITORIAL
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS
PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES A LA SUPERFICIE
Sea S la superficie dada por F ( x, y, z ) = 0 y sea P( x0 , y0 , z0 ) un punto de S. Sea C una
ˆ
ˆ
j
curva sobre S que pasa por P, definida por la función vectorial r (t ) = x(t )i + y(t ) ˆ + z (t )k ,
entonces, para todo t F ( x(t ), y (t ), z (t )) = 0
Si F es diferenciable y existen x′(t ), y′(t ), z′(t ) se sigue de la regla de la cadena que
0 = F ′(t ) =
∂F
∂F
∂F
x′(t ) +
y′(t )´+
z ′(t )
∂x
∂y
∂z
En ( x0 , y0 , z0 ) la forma vectorial equivalente es: ∇F ( x0 , y0 , z0 ). r ′(t0 ) = 0 es decir el producto escalar del gradiente por el vector tangente.
Este resultado significa que el gradiente en P es ortogonal al vector tangente de cualquier
curva contenida en S que pase por P. Así pues, todas las rectas tangentes en P están en un
plano que es normal a ∇F ( x0 , y0 , z0 ) y contiene a P
DEFINICIÓN DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE
Sea F diferenciable en un punto P( x0 , y0 , z0 ) de la superficie S dada por F ( x, y, z ) = 0
con ∇F ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0
Se llama PLANO TANGENTE a una superficie (S) en un punto P de la misma, al plano que
contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
El plano que pasa por P y es normal a ∇F ( x0 , y0 , z0 ) se llama el PLANO TANGENTE a S en
P
Se llama RECTA NORMAL a una superficie, a la recta que pasa por un punto P y es
perpendicular al plano tangente.
La recta que pasa por P con la dirección de ∇F ( x0 , y0 , z0 ) se llama la RECTA NORMAL a S
en P
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Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F ( x, y, z ) = 0 ,
entonces:
Teorema Si F es diferenciable en ( x0 , y0 , z0 ) una ecuación del PLANO TANGENTE a la
superficie dada por F ( x, y, z ) = 0 en ( x0 , y0 , z0 ) es:
∂F(x0 , y0 , z0 )
∂F(x0 , y0 ,z0 )
∂F(x0 , y0 , z0 )
(x − x0 ) +
( y − y0 ) +
(z − z0 ) = 0
∂x
∂y
∂z
Y las ecuaciones de la RECTA NORMAL en ( x0 , y0 , z0 ) es
( x − x0 ) ( y − y0 ) ( z − z0 )
=
=
∂F
∂F
∂F
∂x
∂y
∂z
Para calcular la ecuación del plano tangente en un punto a una superficie dada en la
forma z = f ( x, y ) ,(superficie definida de manera explícita), basta definir la función
F ( x, y, z ) = f ( x, y ) − z con ello, S es la superficie de nivel F ( x, y, z ) = 0 y la ecuación del
plano tangente a S en el punto p0 ( x0 , y0 , z0 ) es:
z − z0 = Fx ( x0 , y0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 )( y − y0 )
z − z0 =
∂F ( x0 , y0 )
∂F ( x0 , y0 )
( x − x0 ) +
( y − y0 )
∂x
∂y
Y la ecuación de la recta normal:
x −x0 y − y0 z − z0
=
=
−1
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una
función. Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no
sobre la superficie.
ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UN PLANO.
El ángulo de inclinación de un plano se define como el ángulo θ ;0 ≤ θ ≤
π
, entre el
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plano dado y el plano x y. El ángulo de inclinación de un plano horizontal se toma igual a 0,
por definición. Como el vector K es normal al plano x y, podemos concluir de la fórmula
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