Planos Y Superficies

MATEMATICAS I
para Ci´encias
e
Ingenier’ia
Felix Carrillo Carrascal
30 de agosto de 2015

2

´Indice general
0.1. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.1.1. Ecuaciones del Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.1.2. Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

0.2. Superficies . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3

´INDICE GENERAL

4

0.1.

Planos

El plano es el lugar geom´etrico de puntos del espacio tridimensional con la siguiente
propiedad: la totalidad de vectores que se obtienen uniendo dos puntos cualesquiera de ´el
son ortogonales a un vector n no nulo. Al vector n se le denomina vector normal al plano.
Cualquier otro vectorparalelo a n es tambi´en un vector normal al plano.

0.1.1.

Ecuaciones del Plano

Un plano est´a completamente determinado si se conoce un punto por donde pasa (llamado punto de paso) y un vector normal. Sea P0 el punto de paso de un plano sea n un
vector normal a dicho plano (ver Figura 1.31).
z

n

P0

y
P

x
Fig. 1.31
−−→
El punto P estar´a en el plano si y solo si el vector P0 P es ortogonal alvector n. Es decir
si:
(P − P0 ) · n = 0

(1)

A la ecuaci´on (1) se le denomina ecuaci´
on normal del plano. Si P0 = (x0 , y0 , z0 ), n =
(a, b, c) y P = (x, y, z), entonces reemplazando se obtiene la ecuaci´on:
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0

(2)

denominada ecuaci´
on can´
onica del plano. Desarrollando esta ecuaci´on toma la forma:
ax + by + cz + (−ax0 − ay0 − cz0 ) = 0

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0.1. PLANOSLo que est´a entre par´entesis es un valor constante. Haciendo d = −ax0 − by0 − cz0 la

ecuaci´on toma la forma:

ax + by + cz + d = 0

(3)

denominada ecuaci´
on general del plano. A esta ecuaci´on, y en general, a toda ecuaci´on que este solamente en t´erminos de las variables x, y y z, se le denomina ecuaci´
on
cartesiana del plano.
Los planos suelen representarse ubicando 4 puntos de ´el queformen un paralelogramo,
o por medio de tri´angulos ubicando solo 3 puntos. En esta segunda forma y cuando los
coeficientes a, b, c y d son todos diferentes de cero, se escogen los puntos en que el plano
intersecta a los ejes coordenados. La intersecci´on del plano con el eje x se halla haciendo
y = 0 y z = 0 en la ecuaci´on (3). Al hacer el reemplazo se obtiene la ecuaci´on ax + d = 0 yresolviendo, x = −d/a. A este valor de x se le llama el intersepto con el eje x. En forma
an´aloga, los interseptos con los ejes y y z, son y = −d/b y z = −d/c, respectivamente, y los

correspondientes puntos de intersecci´on son A(−d/a, 0, 0), B(0, −d/b, 0) y C(0, 0, −d/c).

Uniendo estos tres puntos se forma el tri´angulo ABC, tal como muestra la Figura 1.32.
z
C(0, 0, −d/c)

O
B(0, −d/b, 0)

y

xA(−d/a, 0, 0)

Fig. 1.32
Notese que el plano forma con los tres planos coordenados un tetrahedro.
El volumen de un tetrahedro es igual al producto del ´area de su base por su altura. Si
tomamos como base el tri´angulo OAB, el ´area de la base y la altura ser´an:
A=

1 d
2 a

d
b

,

h=

d
c

As´ı, el volumen del tetrahedro formado por el plano ax + by + cz + d = 0 con los planos
coordenados es:
V =

1d3
6 abc

(4)

´INDICE GENERAL

6
Si hacemos:
m=−

d
a

,

n=−

d
b

,

p=−

d
c

,

b=−

d
n

,

c=−

d
p

entonces se obtienen las ecuaciones:
a=−

d
m

Reemplazando estos valores en la ecuaci´on (3), encontramos que la ecuaci´on del plano,
cuyas intersecciones con los ejes coordenados son los puntos (m, 0, 0), (0, n, 0) y (0, 0, p),
es:

x
y z
+ + =1
m n p

(5)

denominada ecuaci´
on sim´
etricadel plano. Reemplazando esos mismos valores en la
ecuaci´on (4), encontramos que el volumen del tetrahedro que forma el plano definido por
la ecuaci´on (5), con los planos coordenados, es:
V = (1/6) |mnp|

(6)

El plano tambi´en queda completamente determinado si se conoce un punto por donde
pasa y dos vectores, no nulos ni paralelos, contenidos en dicho plano. As´ı, si a y b son dichos
−−→...