Plicaciones Ecuaciones Diferenciales

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Un depósito contiene 50 galones de una solución compuesta por 90% de agua y 10%
de alcohol.Otra solución con 50% de cada sustancia,se va añadiendo aldepósito a
razón de 4 galones⁄min. Simultáneamente,el depósito se va vaciando a razón de
5 galones⁄min. Supuesto que el contenido del depósito está siendo removido
constantemente,¿Cuántoalcohol hay en el depósito a los 10 minutos?

Solución: Sea y el número de galones de alcohol que hay en el depósito en el instante t.
Sabemos que y=5 en t=0. Como el número de galones de soluciónque hay
en el depósito en cualquier instante es 50-t,y el depósito pierde 5 galones
de solución por minuto,debe perder (5/(50-t))y galones de alcohol por minuto.
Como el depósito gana 2galones de alcohol por minuto,el ritmo de cambio del alcohol
en él viene dado por:
dy/dt=2-(5/(50-t))y → dy/dt+(5/(50-t))y=2
Para resolver esta ecuación lineal,tenemos en cuenta que P(t)=5/(50-t)∫▒〖P(t)dt=∫▒〖5/(50-t) dt=-5In|50-t| 〗 〗
e^∫▒P(t)dt=e^(-5In|50-t| )=1/(50-t)^5
y/〖(50-t)〗^5 =∫▒〖2/〖(50-t)〗^5 dt=1/(2〖(50-t)〗^4 )+C〗 Solución general
y=(50-t)/2+C〖(50-t)〗^5 Como y=5 en t=05=50/2+C(50)^2 →C=-20/〖50〗^5
y=(50-t)/2-20((50-t)/50)^5 Solución particular
Para t=10
y=(50-10)/2-20((50-10)/50)^5=13,45 galones
Lo que significa una solución con un 33,625% de alcohol
Sedeja caer un objeto de masa m desde un helicóptero.Expresar su velocidad
en función del tiempo t,supuesto que que la resistencia del aire es proporcional
a la velocidad del objeto.
Solución: Lavelocidad v satisface la ecuación
dv/dt+kv/m=g
donde g es la aceleración de la gravedad y k una constante de proporcionalidad.
Remplazando b=k/m obtenemos
dv=(g-bv)dt
∫▒〖dv/(g-bv)=∫▒dt〗-1/b In|g-bv|=t+C
In|g-bv|=-bt-bC
g-bv=Ce^(-bt) Solución general
Para v=0 en t=0 → C=g
-bv=-g+ge^(-bt)→v=(g-ge^(-bt))/b=mg/k (1-e^(-kt⁄m) )

El circuito eléctrico simple de la figura...