Poisson

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

POISSON
Siméon Denis Poisson, (1781-1840), astronauta
francés, alumno de Laplace y Lagrange, en
Recherchés sur la probabilité des jugements...., un
trabajo importante en probabilidad publicado en el
año 1837, la distribución de Poisson recién
aparecía.

La distribución de Poisson describe la probabilidad como un acontecimiento
fortuito ocurrido en un tiempo o intervalode espacio bajo las condiciones que la
probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de
intentos es muy grande, entonces el evento actual ocurre algunas veces.

Poisson, usos
“La probabilidad de obtener “X “ éxitos en un intervalo continuo”

Se emplea para describir varios procesos:
Distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador
La demanda deservicios en un hospital por parte de los pacientes
Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro
El número de accidentes en un cruce
El número de defectos en una tela por m2
El número de bacterias por cm2

Poisson, características
Características
El número medio (promedio) de eventos en el espacio temporal o región específica de
interés, por lo general esta media se representa por lalambda griega (λ
λ)
El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos
es independiente de el número que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o
región
La probabilidad de que un resultado muy pequeño ocurra en un intervalo de tiempo
muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de
tiempo o al tamaño de la región
La probabilidadde que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo tan
corto o en esa región tan pequeña es inapreciable, que se puede asignar el valor de
0

Fórmula de Poisson
P(x I λ) = λx * e-λλ
x!

P (x I λ) = la probabilidad de que ocurran X éxitos cuando el número promedio de ocurrencia de ellos
es λ
λ media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
e es la constante 2.7183, basede los logaritmos naturales, en tanto que los valores de e-λλ pueden
obtenerse de tablas.
X señala un valor específico que la variable pueda tomar (el número de éxitos que deseamos ocurran)
Por definición, el valor esperado (media en el intervalo o región de interés) de una distribución de
probabilidad de Poisson es igual a la media de la distribución.
E(X) = λ
La varianza del número de eventos deuna distribución de probabilidad de Poisson también es igual a la
media de la distribución λ. De este modo, la desviación estándar es la raíz cuadrada de λ.
V(X) = λ
σ = √λ

Ejemplos
P(x I λ) = λx * e-λλ
x!
Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía
indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes estádistribuido conforme a la
distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de
exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado.
Aplicando la fórmula anterior:
P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674
P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370
P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425
P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042
P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552
Para saber cual es laprobabilidad en 3 o menos (X ≤ 3), sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo que
será igual a :
P(X ≤ 3) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3) = 0.26511
Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la probabilidad de que
ocurran más de tres (X > 3) debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489.

En una tienda de telas, un promedio de 12 personas por hora le hacen preguntas a un decorador. Laprobabilidad de que 3 ó más personas se acerquen al decorador para hacerle preguntas en un periodo de 10
minutos.
Promedio por hora =12
λ = promedio por 10 minutos = 12/6 = 2.0
P (X ≥ 3 I λ = 2) = P (X=3 I λ = 2) + P (X=4 I λ = 2) + P (X=5 I λ = 2) + …
Ó
P (X ≤ 2 I λ = 2) = 1 – [ P (X=0 I λ = 2) + P (X=1 I λ = 2) + P (X=2 I λ = 2) ]
Solución 1
P (X=3 I λ = 2) = 0.1804
P (X=4 I λ = 2) = 0.0902
P (X=5...