polinomiales

Funciones polinomiales y sus gráficas

OBJETIVOS
•

Encontrar los ceros de una función polinomial por factorización.

•

D ibujar la gráfica de un polinomio utilizando la multiplicidad de los ceros y su comportamiento
final.

En las secciones anteriores se han estudiado las funciones polinomiales de grado cero f ( x ) = c , las
funciones polinomiales de grado 1 o funciones linealesf ( x ) = mx + b y las funciones polinomiales de
grado 2 o funciones cuadráticas f ( x ) = ax 2 + bx + c . En ésta sección se iniciará el estudio de las
funciones polinomiales de grado mayor que 2 y sus representaciones gráficas.

Función polinomial
Las funciones polinomiales se definen en la forma siguiente

Función Polinomial
Una función polinomial de grado n, es una función de la formaP ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ⋯ + a1 x + a0
donde

an ≠ 0 , los números

a0 , a2 , a3 ,… , an

se llaman coeficientes del

polinomio. an es el coeficiente de la potencia más alta y se llama coeficiente
principal, a0 se llama coeficiente constante.

Por ejemplo el polinomio

P ( x ) = 3x 5 − 12x 3 + 6x 2 + x − 7
es un polinomio de grado 5, que tiene comocoeficiente principal 3 y como coeficiente constante −7.

Ceros reales de un polinomio
La representación gráfica de un polinomio y = P ( x ) es una curva suave y continua. Si c es un número
real tal que P ( c ) = 0 , entonces el número c es llamado cero o raíz del polinomio P. Los ceros de un
polinomio son muy importantes pues nos permiten dibujar en forma aproximada la gráfica de un
polinomioy por otro lado nos permiten factorizar el polinomio utilizando el siguiente teorema del factor

Teorema del factor
Si x = c es un cero del polinomio P ( x ) , entonces ( x − c ) es un factor. En forma
equivalente, ( x − c ) es un factor de P ( x ) si y solo si x = c es un cero de P ( x ) .

El siguiente teorema muestra todas las relaciones entre los ceros reales de un polinomio, factoresde
la forma ( x − c ) y las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje x.

Ceros reales de un polinomio
Si P es una función polinomial y x = c es un cero del polinomio P ( x ) , entonces
las siguientes proposiciones son equivalentes y verdaderas.
1.

x = c es un cero de P.

2. x = c es una solución de la ecuación P ( x ) = 0 .
3. ( x − c ) es un factor del polinomio P ( x ).
4. El punto ( c, 0) es una intersección de la gráfica y = P ( x ) con el eje x.

Ejemplo 1: Gráfica de un polinomio de grado 3
Construya un polinomio de grado 3 cuyos ceros son − 2,

1 , 3 . Dibuje su representación gráfica
2

Solución
Cuando se conocen todos los ceros de un polinomio, se pueden encontrar sus factores
fácilmente utilizando el teorema del factor. En este ejemplo setiene
Si x = − 2 es un cero entonces x − ( − 2) = x + 2 es un factor.
Si x = 1 es un cero entonces x − 1 es un factor.
2
2
Si x = 3 es un cero entonces x − 3 es un factor.
Un polinomio de grado 3 se obtiene multiplicando todos sus factores, es decir

(

)

P ( x ) = ( x + 2) x − 1 ( x − 3 )
2
Al simplificar el segundo factor y desarrollar productos se obtiene

(

)

P ( x ) = (x + 2) 2 x − 1 ( x − 3 )
2
= 1 ( x + 2 ) ( 2x − 1 )( x − 3 )
2
= 1 ( 2 x 2 + 3x − 2 ) ( x − 3 )
2
P ( x ) = 1 ( 2 x 3 − 3x 2 − 11x + 6 )
2
Este no es el único polinomio que tiene los ceros dados, de hecho existen infinitos
polinomios que tienen los mismos ceros, que tienen como diferencia el valor de la
constante que se encuentra fuera del paréntesis que para el ejemplo es 1 . Para
2representar en forma general a todos los polinomios que tienen los ceros dados se
puede escribir como

(

)

P ( x ) = k( x + 2) x − 1 ( x − 3 )
2
donde k es un número real.

Para dibujar la representación gráfica utilizamos las intersecciones de la gráfica con
el eje x, que se obtienen de los ceros del polinomio, estos puntos son

( 1 , 0)
2

( − 2, 0 ) ,

y

(3, 0 )...