POSICIONES Y ESPACIOS SEUDOMETRICOS

TEMA 2. ESPACIOS (SEUDO) METRICOS Y (SEUDO)METRIZABLES
El siguiente resultado permite concluir que dos pseudometricas qu puede estimarse etre si son equivalentes:
PROPOSICION 2.2.26. Si dosseudometricas y verifican ≤ y ≤ para ciertas constates , > 0, entonces son equivalentes.
OBSERVACION 2.2.27. Si y son (seudo) métricas topologicamete equivalentes sobre sobre
X y es un entornoseudometrico de x en (X, ), entonces existe
> 0 tal que B( X; ) T () = T() tenemos que tal B(X;) es entorno seudometrico de X en (X , ). Por tanto, existe > 0 tal que B (X; ) (X; ) , por lo que esun entorno seudometrico de X en (X , ).
EJEMPLO 2.2.28. Las métricas , , sobre son equivalentes. Es fácil ver que se tiene:
≥ ≥ y ≥ ≥ ;
Luego estas tres métricas son equivalentes y,por lo tanto, topológicamente equivalentes. De esto se deduce el siguiente interesante resultado (se puede probar directamente, pero es bastante tedioso):
Dado X , > 0 e B (; ℰ) es un entornode ŷ en (, ), y por la observación 2.2.27 tambien lo es de ŷ en (, ), es decir, existe > 0 tal que
( - , + x … x ( - , + B (X; ) ( es decir, dada una esfera y un punto en ella, podemos incluirdentro de la esfera un cubo centrado en dicho punto) y viceversa, es decir, dado
χ , > 0 e ŷ () = ( - +) x … x ( - + ),
existe > 0 tal que B (x; ) ( – + x … x ( – , +,(es decir, dado un cuboy un punto en el, podemos incluir dentro de el una esfera centrada en dicho punto).
Observese que la proposición 2.2.26 es un caso particular del siguiente resultado:
EJERCICIO 2.31. ♠ Si unaaplicación f : (X, ) (Y, entre espacios seudometricos es lipschitziana (Ejercicio 2.21), entonces es uniformemente continua (Ejercicio 2.29).
EJERCICIO 2.32. ♠ Sea un abierto de y un abierto de .Demuestra que
x : = {(, …, , +1, …, +m) I (+1,…, ) , (+1, …, +m) }



2.ESPACIOS TOPOLOGICOS Y ESPACIOS METRICOS
Es un abierto de .
EJERCICIO 2.33.. ♠ Utilizar el ejemplo 2.2.28 para probar que las...