postulados de la mecanica cuantica

Introducción
Aunque el desarrollo de la teoría cuántica se sitúa en el primer cuarto del siglo XX, iniciado en 1900 con el descubrimiento del quanto de Max Planck, no fue hasta los años 30 cuando se establecieron los principios matemáticos de la Mecánica Cuántica moderna. Estos principios se relacionan fundamentalmente con los trabajos de Born, Dirac y, sobre todo, John von Neumann (1932).
Laaxiomatización dada por von Neumann perduró durante más de medio siglo en la mayoría de los libros clásicos de Mecánica Cuántica. Sin embargo, en los años 90 la mayoría de los físicos empezó a adoptar una actitud crítica hacia esa forma de postulación, especialmente en lo que concernía al desarrollo intuitivo de la misma y, sobre todo, al tratamiento que se hacía del problema del colapso de lafunción de onda.
En efecto, a pesar de que en los textos clásicos se parte del concepto de estado para pasar luego al de observable incluyendo como postulados el colapso, la evolución temporal y las relaciones de incertidumbre, una visión más moderna consiste en partir del concepto de observable suprimiendo los tres últimos postulados a los que se llegará por diferentes consideraciones, y manteniendosólo el postulado de superposición de estados y el de Born acerca de la interpretación probabilística. Una visión más cercana a ésta última será la que adoptemos en estos apuntes.
No obstante, hay que remarcar que las conclusiones experimentales a las que se llega con cualquier conjunto de axiomas que se puedan elegir son, y de hecho deben ser, exactamente las mismas, no tratándose esto, en miopinión, más que de una mera cuestión formal. De hecho para la mayoría de los físicos, que no trabajan en los fundamentos de la Mecánica Cuántica, es esta una cuestión transparente.





Postulado I. Marco matemático.
Cada sistema cuántico se estudiará con un espacio de Hilbert H complejo, separable y equipado.
Al margen de consideraciones topológicas, un espacio de Hilbert separable es unespacio vectorial V en donde se puede definir un producto escalar y una base lineal finita o infinita numerable (base de Hamel).
El concepto de equipación del espacio se escapa de los objetivos de estos apuntes. Baste decir que se puede consultar en los trabajos del matemático ruso Israel Gelfand y que nos permitirá incluir una serie de funciones generalizadas debidas a Dirac.
Según estanotación, los vectores de H se llaman vectores ket y se denotan con |Ψ >. También se define un espacio dual H', isomorfo al anterior, en el que cada vector de H es tratado como un funcional lineal Φ de H' de tal forma que a cada elemento de H le asocia un escalar. A estos vectores se los denomina vectores bra, y se denotan como de forma que < i | j >=δij, usando la delta de Kronecker o de Diracdependiendo del caso discreto o continuo.


Con esta base podemos definir la relación de completitud o de cierre del Hilbert usando la descomposición de la identidad

De modo que cualquier vector arbitrario |v > del espacio pueda desarrollarse en esa base:

- Operadores lineales
Sobre los vectores del espacio de Hilbert definiremos operadores lineales A, que cumplen:

y que normalmenteusaremos por medio de sus representaciones matriciales en cada base:

La traza de un operador lineal en una base dada será pues:

Cuando al aplicar un operador sobre un vector obtenemos:

Diremos que |v > es autovector de A con autovalor v. Es conocido por álgebra que los autovalores se hallan igualando a cero el llamado polinomio característico P(v)=|A-vI|=0, que no depende de la representaciónelegida.
El operador tendrá una representación diagonal en sus autovectores ortonormales, si los hubiera:

Se define el operador adjunto A+ de A a aquel que cumple:

Un operador es hermítico o autoadjunto cuando coincide con su adjunto (ejemplos claros son los proyectores o la identidad). Es muy fácil demostrar que los autovalores de un operador autoadjunto son reales.
Un operador U es...