Potencial Electrico

La expresi´n del potencial el´ctrico generado por o e un anillo circular cargado uniformemente
M. A. L´pez Mari˜o1 , N. Aquino2 y F. E. Bueno–Pascual1 o n
Recibido: 09 de noviembre de 2010 Aceptado: 25 de noviembre de 2010 Abstract In this article we get the analytical expression of the electric potential produced by a circular ring charged with uniformity out of the symmetry axis. As aparticular result, we deduced the potential for several points over the symmetry axis as an example presented in many undergraduated physics textbooks. Also, we present graphically how is the electrical field generated by this charge distribution. Resumen En este trabajo obtenemos la expresi´n anal´ o ıtica exacta del potencial el´ctrico que produce un anie llo circular cargado uniformemente en puntosfuera del eje de simetr´ Como resultado particular, deıa. ducimos el potencial para puntos sobre el eje de simetr´ que es un ejemplo empleado en muchos liıa, bros de F´ ısica elemental. Mostramos gr´ficamente a c´mo es el campo el´ctrico generado por esta distrio e buci´n de carga. o 1. Introducci´n o El estudio de la Teor´ Electromagn´tica es primorıa e dial en la formaci´n de estudiantes de lascarreras de o f´ ısica y de diversas ingenier´ Particularmente, los ıas. conceptos de potencial y campo el´ctrico son b´sie a cos en la ense˜anza y aprendizaje de la electrost´tin a ca. Para ilustrar estos conceptos en el sal´n de clao se, usamos ejemplos simples en los cuales sus respectivas expresiones anal´ ıticas se obtienen en t´rminos e de funciones elementales. Uno de los problemas sencillos deresolver lo constituye el c´lculo del potena cial y del campo el´ctrico en puntos sobre el eje de sie metr´ de un anillo uniformemente cargado; este proıa blema es ampliamente discutido en los libros de texto elementales [1-3]. Por otro lado, los problemas in1 Departamento de Ingenier´ ıa, Tecnol´gico de Monteo rrey, Campus Central de Veracruz, C´rdoba, Veracruz. o malm@itesm.mx, fbueno@itesm.mx2 Departamento de F´ ısica, Universidad Aut´noma o Metropolitana-Iztapalapa, M´xico D.F., naa@xanum.uam.mx e

teresantes o con aplicaci´n pr´ctica resultan ser m´s o a a complicados de resolver y requieren del conocimiento de funciones especiales y/o de m´todos num´rie e cos. El problema del c´lculo del potencial y campo a el´ctrico producido por la carga uniformemente dise tribuida sobre unanillo circular de radio R se complica si se desean conocer estas cantidades en cualquier punto del espacio. Este problema ha sido reportado en la literatura [4]; sin embargo, s´lo se reporo tan las expresiones obtenidas y no el procedimiento mediante el cual se obtienen. El objetivo de este trabajo es mostrar el c´lculo dea tallado del potencial el´ctrico, en puntos arbitrarios e del espacio,producido por un anillo uniformemente cargado, para que los estudiantes de los cursos de electromagnetismo puedan comprender y reproducir las expresiones que se obtienen para esta cantidad f´ ısica. 2. Potencial el´ctrico e Para el c´lculo del potencial el´ctrico es conveniena e te usar coordenadas cil´ ındricas, ya que con ellas podemos aprovechar la simetr´ del problema. Consiıa deramos, para nuestroan´lisis, un anillo de radio a R con una distribuci´n de uniforme de carga λ sio tuado en el plano xy, cuyo eje de simetr´ est´ soıa a bre el eje z como se muestra en la Figura 1. El potencial electrost´tico generado en el punto a P (x, y, z) por est´ dado por a Φ= 1 4πε0 λdl |r − r′ | (1)

C

donde λ es la densidad uniforme de carga lineal, dl′ el elemento de l´ ınea, r es el vector que defineel punto ˆ de inter´s, r′ = Rr′ es el vector de posici´n que va e o del origen al elemento diferencial de carga sobre el anillo. Es importante notar que, debido a la simetr´ el ıa, potencial Φ es independiente de θ y por esta raz´n o s´lo es necesario considerar puntos en el plano xz o 53

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ContactoS 78, 53–57 (2010)

tenemos ≤ φ ≤ π El dominio de integraci´n para φ es o 2 pero si...